微分積分例

$y = 3 \sin^{2} (2 x^{3})$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (3 \sin^{2} (2 x^{3}))$

ステップ 2

$x$ に関する $y$ の微分係数は $y'$ です。

$y'$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 3.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 \sin^{2} (2 x^{3})$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [\sin^{2} (2 x^{3})]$ です。

$3 \frac{d}{d x} [\sin^{2} (2 x^{3})]$

ステップ 3.2

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = \sin (2 x^{3})$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $\sin (2 x^{3})$ とします。

$3 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (2 x^{3})])$

ステップ 3.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ は $n {u_{1}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 (2 u_{1} \frac{d}{d x} [\sin (2 x^{3})])$

ステップ 3.2.3

$u_{1}$ のすべての発生を $\sin (2 x^{3})$ で置き換えます。

$3 (2 \sin (2 x^{3}) \frac{d}{d x} [\sin (2 x^{3})])$

ステップ 3.3

$2$ に $3$ をかけます。

$6 (\sin (2 x^{3}) \frac{d}{d x} [\sin (2 x^{3})])$

ステップ 3.4

$f (x) = \sin (x)$ および $g (x) = 2 x^{3}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.4.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $2 x^{3}$ とします。

$6 \sin (2 x^{3}) (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x^{3}])$

ステップ 3.4.2

$u_{2}$ に関する $\sin (u_{2})$ の微分係数は $\cos (u_{2})$ です。

$6 \sin (2 x^{3}) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x^{3}])$

ステップ 3.4.3

$u_{2}$ のすべての発生を $2 x^{3}$ で置き換えます。

$6 \sin (2 x^{3}) (\cos (2 x^{3}) \frac{d}{d x} [2 x^{3}])$

ステップ 3.5

微分します。

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ステップ 3.5.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x^{3}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$6 \sin (2 x^{3}) \cos (2 x^{3}) (2 \frac{d}{d x} [x^{3}])$

ステップ 3.5.2

$2$ に $6$ をかけます。

$12 \sin (2 x^{3}) \cos (2 x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 3.5.3

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$12 \sin (2 x^{3}) \cos (2 x^{3}) (3 x^{2})$

ステップ 3.5.4

式を簡約します。

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ステップ 3.5.4.1

$3$ に $12$ をかけます。

$36 \sin (2 x^{3}) \cos (2 x^{3}) x^{2}$

ステップ 3.5.4.2

$36 \sin (2 x^{3}) \cos (2 x^{3}) x^{2}$ の因数を並べ替えます。

$36 x^{2} \cos (2 x^{3}) \sin (2 x^{3})$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$y' = 36 x^{2} \cos (2 x^{3}) \sin (2 x^{3})$

ステップ 5

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = 36 x^{2} \cos (2 x^{3}) \sin (2 x^{3})$

微分積分 例

微分積分例