微分積分例

$\int 5 \tan (3 x) \ln (\sec (3 x)) d x$

ステップ 1

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $5$ を積分の外に移動させます。

$5 \int \tan (3 x) \ln (\sec (3 x)) d x$

ステップ 2

$u_{3} = \ln (\sec (3 x))$ とします。次に $d u_{3} = 3 \tan (3 x) d x$ すると、 $\frac{1}{3} d u_{3} = \tan (3 x) d x$ です。 $u_{3}$ と $d$ $u_{3}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 2.1

$u_{3} = \ln (\sec (3 x))$ とします。 $\frac{d u_{3}}{d x}$ を求めます。

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ステップ 2.1.1

$\ln (\sec (3 x))$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [\ln (\sec (3 x))]$

ステップ 2.1.2

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = \sec (3 x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $\sec (3 x)$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\sec (3 x)]$

ステップ 2.1.2.2

$u_{1}$ に関する $\ln (u_{1})$ の微分係数は $\frac{1}{u_{1}}$ です。

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\sec (3 x)]$

ステップ 2.1.2.3

$u_{1}$ のすべての発生を $\sec (3 x)$ で置き換えます。

$\frac{1}{\sec (3 x)} \frac{d}{d x} [\sec (3 x)]$

ステップ 2.1.3

正弦と余弦に関して $\sec (3 x)$ を書き換えます。

$\frac{1}{\frac{1}{\cos (3 x)}} \frac{d}{d x} [\sec (3 x)]$

ステップ 2.1.4

分数の逆数を掛け、 $\frac{1}{\cos (3 x)}$ で割ります。

$1 \cos (3 x) \frac{d}{d x} [\sec (3 x)]$

ステップ 2.1.5

$\cos (3 x)$ に $1$ をかけます。

$\cos (3 x) \frac{d}{d x} [\sec (3 x)]$

ステップ 2.1.6

$f (x) = \sec (x)$ および $g (x) = 3 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1.6.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $3 x$ とします。

$\cos (3 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\sec (u_{2})] \frac{d}{d x} [3 x])$

ステップ 2.1.6.2

$u_{2}$ に関する $\sec (u_{2})$ の微分係数は $\sec (u_{2}) \tan (u_{2})$ です。

$\cos (3 x) (\sec (u_{2}) \tan (u_{2}) \frac{d}{d x} [3 x])$

ステップ 2.1.6.3

$u_{2}$ のすべての発生を $3 x$ で置き換えます。

$\cos (3 x) (\sec (3 x) \tan (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])$

ステップ 2.1.7

微分します。

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ステップ 2.1.7.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\cos (3 x) \sec (3 x) \tan (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 2.1.7.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\cos (3 x) \sec (3 x) \tan (3 x) (3 \cdot 1)$

ステップ 2.1.7.3

式を簡約します。

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ステップ 2.1.7.3.1

$3$ に $1$ をかけます。

$\cos (3 x) \sec (3 x) \tan (3 x) \cdot 3$

ステップ 2.1.7.3.2

$3$ を $\cos (3 x) \sec (3 x) \tan (3 x)$ の左に移動させます。

$3 \cdot (\cos (3 x) \sec (3 x) \tan (3 x))$

ステップ 2.1.8

簡約します。

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ステップ 2.1.8.1

正弦と余弦について書き換え、次に共通因数を約分します。

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ステップ 2.1.8.1.1

括弧を付けます。

$3 (\cos (3 x) \sec (3 x)) \tan (3 x)$

ステップ 2.1.8.1.2

$\cos (3 x)$ と $\sec (3 x)$ を並べ替えます。

$3 (\sec (3 x) \cos (3 x)) \tan (3 x)$

ステップ 2.1.8.1.3

正弦と余弦に関して $3 \cos (3 x) \sec (3 x)$ を書き換えます。

$3 (\frac{1}{\cos (3 x)} \cos (3 x)) \tan (3 x)$

ステップ 2.1.8.1.4

共通因数を約分します。

$3 \cdot 1 \tan (3 x)$

ステップ 2.1.8.2

$3$ に $1$ をかけます。

$3 \tan (3 x)$

ステップ 2.1.8.3

正弦と余弦に関して $\tan (3 x)$ を書き換えます。

$3 \frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)}$

ステップ 2.1.8.4

$3$ と $\frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)}$ をまとめます。

$\frac{3 \sin (3 x)}{\cos (3 x)}$

ステップ 2.1.8.5

分数を分解します。

$\frac{3}{1} \cdot \frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)}$

ステップ 2.1.8.6

$\frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)}$ を $\tan (3 x)$ に変換します。

$\frac{3}{1} \tan (3 x)$

ステップ 2.1.8.7

$3$ を $1$ で割ります。

$3 \tan (3 x)$

ステップ 2.2

$u_{3}$ と $d u_{3}$ を利用して問題を書き換えます。

$5 \int u_{3} \frac{1}{3} d u_{3}$

ステップ 3

$u_{3}$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$5 \int \frac{u_{3}}{3} d u_{3}$

ステップ 4

$\frac{1}{3}$ は $u_{3}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{3}$ を積分の外に移動させます。

$5 (\frac{1}{3} \int u_{3} d u_{3})$

ステップ 5

$\frac{1}{3}$ と $5$ をまとめます。

$\frac{5}{3} \int u_{3} d u_{3}$

ステップ 6

べき乗則では、 $u_{3}$ の $u_{3}$ に関する積分は $\frac{1}{2} {u_{3}}^{2}$ です。

$\frac{5}{3} (\frac{1}{2} {u_{3}}^{2} + C)$

ステップ 7

簡約します。

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ステップ 7.1

$\frac{5}{3} (\frac{1}{2} {u_{3}}^{2} + C)$ を $\frac{5}{3} \cdot \frac{1}{2} {u_{3}}^{2} + C$ に書き換えます。

$\frac{5}{3} \cdot \frac{1}{2} {u_{3}}^{2} + C$

ステップ 7.2

簡約します。

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ステップ 7.2.1

$\frac{5}{3}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$\frac{5}{3 \cdot 2} {u_{3}}^{2} + C$

ステップ 7.2.2

$3$ に $2$ をかけます。

$\frac{5}{6} {u_{3}}^{2} + C$

ステップ 8

$u_{3}$ のすべての発生を $\ln (\sec (3 x))$ で置き換えます。

$\frac{5}{6} \ln^{2} (\sec (3 x)) + C$

微分積分 例

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