微分積分例

$\int_{0}^{\ln (x)} \frac{1}{\sqrt{4 + e^{t}}} d t$

ステップ 1

$\frac{1}{\sqrt{4 + e^{t}}}$ に $\frac{\sqrt{4 + e^{t}}}{\sqrt{4 + e^{t}}}$ をかけます。

$\frac{d}{d x} [\int_{0}^{\ln (x)} \frac{1}{\sqrt{4 + e^{t}}} \cdot \frac{\sqrt{4 + e^{t}}}{\sqrt{4 + e^{t}}} d t]$

ステップ 2

分母を組み合わせて簡約します。

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ステップ 2.1

$\frac{1}{\sqrt{4 + e^{t}}}$ に $\frac{\sqrt{4 + e^{t}}}{\sqrt{4 + e^{t}}}$ をかけます。

$\frac{d}{d x} [\int_{0}^{\ln (x)} \frac{\sqrt{4 + e^{t}}}{\sqrt{4 + e^{t}} \sqrt{4 + e^{t}}} d t]$

ステップ 2.2

$\sqrt{4 + e^{t}}$ を $1$ 乗します。

$\frac{d}{d x} [\int_{0}^{\ln (x)} \frac{\sqrt{4 + e^{t}}}{{\sqrt{4 + e^{t}}}^{1} \sqrt{4 + e^{t}}} d t]$

ステップ 2.3

$\sqrt{4 + e^{t}}$ を $1$ 乗します。

$\frac{d}{d x} [\int_{0}^{\ln (x)} \frac{\sqrt{4 + e^{t}}}{{\sqrt{4 + e^{t}}}^{1} {\sqrt{4 + e^{t}}}^{1}} d t]$

ステップ 2.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{d}{d x} [\int_{0}^{\ln (x)} \frac{\sqrt{4 + e^{t}}}{{\sqrt{4 + e^{t}}}^{1 + 1}} d t]$

ステップ 2.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{d}{d x} [\int_{0}^{\ln (x)} \frac{\sqrt{4 + e^{t}}}{{\sqrt{4 + e^{t}}}^{2}} d t]$

ステップ 2.6

${\sqrt{4 + e^{t}}}^{2}$ を $4 + e^{t}$ に書き換えます。

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ステップ 2.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{4 + e^{t}}$ を ${(4 + e^{t})}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [\int_{0}^{\ln (x)} \frac{\sqrt{4 + e^{t}}}{{({(4 + e^{t})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} d t]$

ステップ 2.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{d}{d x} [\int_{0}^{\ln (x)} \frac{\sqrt{4 + e^{t}}}{{(4 + e^{t})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} d t]$

ステップ 2.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{d}{d x} [\int_{0}^{\ln (x)} \frac{\sqrt{4 + e^{t}}}{{(4 + e^{t})}^{\frac{2}{2}}} d t]$

ステップ 2.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.6.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{d}{d x} [\int_{0}^{\ln (x)} \frac{\sqrt{4 + e^{t}}}{{(4 + e^{t})}^{\frac{2}{2}}} d t]$

ステップ 2.6.4.2

式を書き換えます。

$\frac{d}{d x} [\int_{0}^{\ln (x)} \frac{\sqrt{4 + e^{t}}}{{(4 + e^{t})}^{1}} d t]$

ステップ 2.6.5

簡約します。

$\frac{d}{d x} [\int_{0}^{\ln (x)} \frac{\sqrt{4 + e^{t}}}{4 + e^{t}} d t]$

ステップ 3

微積分学の基本定理と連鎖律を利用して、 $x$ に関する $\int_{0}^{\ln (x)} \frac{\sqrt{4 + e^{t}}}{4 + e^{t}} d t$ の微分係数を取ります。

$\frac{d}{d x} [\ln (x)] \frac{\sqrt{4 + e^{\ln (x)}}}{4 + e^{\ln (x)}}$

ステップ 4

$x$ に関する $\ln (x)$ の微分係数は $\frac{1}{x}$ です。

$\frac{1}{x} \cdot \frac{\sqrt{4 + e^{\ln (x)}}}{4 + e^{\ln (x)}}$

ステップ 5

指数関数と対数関数は逆関数です。

$\frac{1}{x} \cdot \frac{\sqrt{4 + x}}{4 + e^{\ln (x)}}$

ステップ 6

指数関数と対数関数は逆関数です。

$\frac{1}{x} \cdot \frac{\sqrt{4 + x}}{4 + x}$

ステップ 7

$\frac{1}{x}$ に $\frac{\sqrt{4 + x}}{4 + x}$ をかけます。

$\frac{\sqrt{4 + x}}{x (4 + x)}$

ステップ 8

簡約します。

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ステップ 8.1

分配則を当てはめます。

$\frac{\sqrt{4 + x}}{x \cdot 4 + x \cdot x}$

ステップ 8.2

項をまとめます。

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ステップ 8.2.1

$4$ を $x$ の左に移動させます。

$\frac{\sqrt{4 + x}}{4 \cdot x + x \cdot x}$

ステップ 8.2.2

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{\sqrt{4 + x}}{4 x + x^{1} x}$

ステップ 8.2.3

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{\sqrt{4 + x}}{4 x + x^{1} x^{1}}$

ステップ 8.2.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{\sqrt{4 + x}}{4 x + x^{1 + 1}}$

ステップ 8.2.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{\sqrt{4 + x}}{4 x + x^{2}}$

ステップ 8.3

項を並べ替えます。

$\frac{\sqrt{4 + x}}{x^{2} + 4 x}$

ステップ 8.4

$x$ を $x^{2} + 4 x$ で因数分解します。

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ステップ 8.4.1

$x$ を $x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{\sqrt{4 + x}}{x \cdot x + 4 x}$

ステップ 8.4.2

$x$ を $4 x$ で因数分解します。

$\frac{\sqrt{4 + x}}{x \cdot x + x \cdot 4}$

ステップ 8.4.3

$x$ を $x \cdot x + x \cdot 4$ で因数分解します。

$\frac{\sqrt{4 + x}}{x (x + 4)}$

微分積分 例

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