微分積分例

$x \ln (x^{2} + 4 x)$

ステップ 1

$f (x) = x$ および $g (x) = \ln (x^{2} + 4 x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$x \frac{d}{d x} [\ln (x^{2} + 4 x)] + \ln (x^{2} + 4 x) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = x^{2} + 4 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{2} + 4 x$ とします。

$x (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x]) + \ln (x^{2} + 4 x) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.2

$u$ に関する $\ln (u)$ の微分係数は $\frac{1}{u}$ です。

$x (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x]) + \ln (x^{2} + 4 x) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.3

$u$ のすべての発生を $x^{2} + 4 x$ で置き換えます。

$x (\frac{1}{x^{2} + 4 x} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x]) + \ln (x^{2} + 4 x) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 3

微分します。

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ステップ 3.1

$\frac{1}{x^{2} + 4 x}$ と $x$ をまとめます。

$\frac{x}{x^{2} + 4 x} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x] + \ln (x^{2} + 4 x) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 3.2

総和則では、 $x^{2} + 4 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x]$ です。

$\frac{x}{x^{2} + 4 x} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x]) + \ln (x^{2} + 4 x) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 3.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{x}{x^{2} + 4 x} (2 x + \frac{d}{d x} [4 x]) + \ln (x^{2} + 4 x) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 3.4

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{x}{x^{2} + 4 x} (2 x + 4 \frac{d}{d x} [x]) + \ln (x^{2} + 4 x) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 3.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{x}{x^{2} + 4 x} (2 x + 4 \cdot 1) + \ln (x^{2} + 4 x) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 3.6

$4$ に $1$ をかけます。

$\frac{x}{x^{2} + 4 x} (2 x + 4) + \ln (x^{2} + 4 x) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 3.7

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{x}{x^{2} + 4 x} (2 x + 4) + \ln (x^{2} + 4 x) \cdot 1$

ステップ 3.8

式を簡約します。

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ステップ 3.8.1

$\ln (x^{2} + 4 x)$ に $1$ をかけます。

$\frac{x}{x^{2} + 4 x} (2 x + 4) + \ln (x^{2} + 4 x)$

ステップ 3.8.2

項を並べ替えます。

$(2 x + 4) \frac{x}{x^{2} + 4 x} + \ln (x^{2} + 4 x)$

微分積分 例

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