微分積分例

$\int_{1}^{e} \frac{\sqrt{\ln (x)}}{x} d x$

ステップ 1

$u = \ln (x)$ とします。次に $d u = \frac{1}{x} d x$ すると、 $x d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 1.1

$u = \ln (x)$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 1.1.1

$\ln (x)$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [\ln (x)]$

ステップ 1.1.2

$x$ に関する $\ln (x)$ の微分係数は $\frac{1}{x}$ です。

$\frac{1}{x}$

ステップ 1.2

$u = \ln (x)$ の $x$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = \ln (1)$

ステップ 1.3

$1$ の自然対数は $0$ です。

$u_{lower} = 0$

ステップ 1.4

$u = \ln (x)$ の $x$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = \ln (e)$

ステップ 1.5

$e$ の自然対数は $1$ です。

$u_{upper} = 1$

ステップ 1.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 1$

ステップ 1.7

$u$ 、 $d u$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$\int_{0}^{1} \sqrt{u} d u$

ステップ 2

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{u}$ を $u^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\int_{0}^{1} u^{\frac{1}{2}} d u$

ステップ 3

べき乗則では、 $u^{\frac{1}{2}}$ の $u$ に関する積分は $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ です。

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{0}^{1}$

ステップ 4

代入し簡約します。

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ステップ 4.1

$1$ および $0$ で $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ の値を求めます。

$(\frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}$

ステップ 4.2

簡約します。

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ステップ 4.2.1

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{2}{3} \cdot 1 - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}$

ステップ 4.2.2

$\frac{2}{3}$ に $1$ をかけます。

$\frac{2}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}$

ステップ 4.2.3

$0$ を $0^{2}$ に書き換えます。

$\frac{2}{3} - \frac{2}{3} \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}}$

ステップ 4.2.4

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{2}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}$

ステップ 4.2.5

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.2.5.1

共通因数を約分します。

$\frac{2}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}$

ステップ 4.2.5.2

式を書き換えます。

$\frac{2}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{3}$

ステップ 4.2.6

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$\frac{2}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0$

ステップ 4.2.7

$0$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{2}{3} + 0 (\frac{2}{3})$

ステップ 4.2.8

$0$ に $\frac{2}{3}$ をかけます。

$\frac{2}{3} + 0$

ステップ 4.2.9

$\frac{2}{3}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{2}{3}$

ステップ 5

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{2}{3}$

10進法形式：

$0.\overline{6}$

微分積分 例

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