微分積分例

$\int_{- 7}^{0} (\frac{y}{7} + \sqrt{y + 8}) d y$

ステップ 1

括弧を削除します。

$\int_{- 7}^{0} \frac{y}{7} + \sqrt{y + 8} d y$

ステップ 2

単一積分を複数積分に分割します。

$\int_{- 7}^{0} \frac{y}{7} d y + \int_{- 7}^{0} \sqrt{y + 8} d y$

ステップ 3

$\frac{1}{7}$ は $y$ に対して定数なので、 $\frac{1}{7}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{7} \int_{- 7}^{0} y d y + \int_{- 7}^{0} \sqrt{y + 8} d y$

ステップ 4

べき乗則では、 $y$ の $y$ に関する積分は $\frac{1}{2} y^{2}$ です。

$\frac{1}{7} \frac{1}{2} y^{2}]_{- 7}^{0} + \int_{- 7}^{0} \sqrt{y + 8} d y$

ステップ 5

$u = y + 8$ とします。次に $d u = d y$ 。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 5.1

$u = y + 8$ とします。 $\frac{d u}{d y}$ を求めます。

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ステップ 5.1.1

$y + 8$ を微分します。

$\frac{d}{d y} [y + 8]$

ステップ 5.1.2

総和則では、 $y + 8$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [8]$ です。

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [8]$

ステップ 5.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d y} [8]$

ステップ 5.1.4

$8$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $8$ の微分係数は $0$ です。

$1 + 0$

ステップ 5.1.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$1$

ステップ 5.2

$u = y + 8$ の $y$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = - 7 + 8$

ステップ 5.3

$- 7$ と $8$ をたし算します。

$u_{lower} = 1$

ステップ 5.4

$u = y + 8$ の $y$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = 0 + 8$

ステップ 5.5

$0$ と $8$ をたし算します。

$u_{upper} = 8$

ステップ 5.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 8$

ステップ 5.7

$u$ 、 $d u$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$\frac{1}{7} \frac{1}{2} y^{2}]_{- 7}^{0} + \int_{1}^{8} \sqrt{u} d u$

ステップ 6

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{u}$ を $u^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{1}{7} \frac{1}{2} y^{2}]_{- 7}^{0} + \int_{1}^{8} u^{\frac{1}{2}} d u$

ステップ 7

べき乗則では、 $u^{\frac{1}{2}}$ の $u$ に関する積分は $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ です。

$\frac{1}{7} \frac{1}{2} y^{2}]_{- 7}^{0} + \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{8}$

ステップ 8

代入し簡約します。

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ステップ 8.1

$0$ および $- 7$ で $\frac{1}{2} y^{2}$ の値を求めます。

$\frac{1}{7} ((\frac{1}{2} \cdot 0^{2}) - \frac{1}{2} {(- 7)}^{2}) + \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{8}$

ステップ 8.2

$8$ および $1$ で $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ の値を求めます。

$\frac{1}{7} ((\frac{1}{2} \cdot 0^{2}) - \frac{1}{2} {(- 7)}^{2}) + (\frac{2}{3} \cdot 8^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

ステップ 8.3

簡約します。

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ステップ 8.3.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$\frac{1}{7} (\frac{1}{2} \cdot 0 - \frac{1}{2} {(- 7)}^{2}) + (\frac{2}{3} \cdot 8^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

ステップ 8.3.2

$\frac{1}{2}$ に $0$ をかけます。

$\frac{1}{7} (0 - \frac{1}{2} {(- 7)}^{2}) + (\frac{2}{3} \cdot 8^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

ステップ 8.3.3

$- 7$ を $2$ 乗します。

$\frac{1}{7} (0 - \frac{1}{2} \cdot 49) + (\frac{2}{3} \cdot 8^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

ステップ 8.3.4

$49$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{1}{7} (0 - 49 (\frac{1}{2})) + (\frac{2}{3} \cdot 8^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

ステップ 8.3.5

$- 49$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{7} (0 + \frac{- 49}{2}) + (\frac{2}{3} \cdot 8^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

ステップ 8.3.6

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{7} (0 - \frac{49}{2}) + (\frac{2}{3} \cdot 8^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

ステップ 8.3.7

$0$ から $\frac{49}{2}$ を引きます。

$\frac{1}{7} (- \frac{49}{2}) + (\frac{2}{3} \cdot 8^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

ステップ 8.3.8

$\frac{1}{7}$ に $\frac{49}{2}$ をかけます。

$- \frac{49}{7 \cdot 2} + (\frac{2}{3} \cdot 8^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

ステップ 8.3.9

$7$ に $2$ をかけます。

$- \frac{49}{14} + (\frac{2}{3} \cdot 8^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

ステップ 8.3.10

$49$ と $14$ の共通因数を約分します。

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ステップ 8.3.10.1

$7$ を $49$ で因数分解します。

$- \frac{7 (7)}{14} + (\frac{2}{3} \cdot 8^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

ステップ 8.3.10.2

共通因数を約分します。

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ステップ 8.3.10.2.1

$7$ を $14$ で因数分解します。

$- \frac{7 \cdot 7}{7 \cdot 2} + (\frac{2}{3} \cdot 8^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

ステップ 8.3.10.2.2

共通因数を約分します。

$- \frac{7 \cdot 7}{7 \cdot 2} + (\frac{2}{3} \cdot 8^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

ステップ 8.3.10.2.3

式を書き換えます。

$- \frac{7}{2} + (\frac{2}{3} \cdot 8^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

ステップ 8.3.11

$\frac{2}{3}$ と $8^{\frac{3}{2}}$ をまとめます。

$- \frac{7}{2} + \frac{2 \cdot 8^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

ステップ 8.3.12

$8$ を $2^{3}$ に書き換えます。

$- \frac{7}{2} + \frac{2 \cdot {(2^{3})}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

ステップ 8.3.13

${(2^{3})}^{\frac{3}{2}}$ の指数を掛けます。

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ステップ 8.3.13.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$- \frac{7}{2} + \frac{2 \cdot 2^{3 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

ステップ 8.3.13.2

$3 (\frac{3}{2})$ を掛けます。

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ステップ 8.3.13.2.1

$3$ と $\frac{3}{2}$ をまとめます。

$- \frac{7}{2} + \frac{2 \cdot 2^{\frac{3 \cdot 3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

ステップ 8.3.13.2.2

$3$ に $3$ をかけます。

$- \frac{7}{2} + \frac{2 \cdot 2^{\frac{9}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

ステップ 8.3.14

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- \frac{7}{2} + \frac{2^{1 + \frac{9}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

ステップ 8.3.15

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$- \frac{7}{2} + \frac{2^{\frac{2}{2} + \frac{9}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

ステップ 8.3.16

公分母の分子をまとめます。

$- \frac{7}{2} + \frac{2^{\frac{2 + 9}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

ステップ 8.3.17

$2$ と $9$ をたし算します。

$- \frac{7}{2} + \frac{2^{\frac{11}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

ステップ 8.3.18

1のすべての数の累乗は1です。

$- \frac{7}{2} + \frac{2^{\frac{11}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1$

ステップ 8.3.19

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- \frac{7}{2} + \frac{2^{\frac{11}{2}}}{3} - \frac{2}{3}$

ステップ 8.3.20

公分母の分子をまとめます。

$- \frac{7}{2} + \frac{2^{\frac{11}{2}} - 2}{3}$

ステップ 8.3.21

$- \frac{7}{2}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$- \frac{7}{2} \cdot \frac{3}{3} + \frac{2^{\frac{11}{2}} - 2}{3}$

ステップ 8.3.22

$\frac{2^{\frac{11}{2}} - 2}{3}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$- \frac{7}{2} \cdot \frac{3}{3} + \frac{2^{\frac{11}{2}} - 2}{3} \cdot \frac{2}{2}$

ステップ 8.3.23

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $6$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 8.3.23.1

$\frac{7}{2}$ に $\frac{3}{3}$ をかけます。

$- \frac{7 \cdot 3}{2 \cdot 3} + \frac{2^{\frac{11}{2}} - 2}{3} \cdot \frac{2}{2}$

ステップ 8.3.23.2

$2$ に $3$ をかけます。

$- \frac{7 \cdot 3}{6} + \frac{2^{\frac{11}{2}} - 2}{3} \cdot \frac{2}{2}$

ステップ 8.3.23.3

$\frac{2^{\frac{11}{2}} - 2}{3}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$- \frac{7 \cdot 3}{6} + \frac{(2^{\frac{11}{2}} - 2) \cdot 2}{3 \cdot 2}$

ステップ 8.3.23.4

$3$ に $2$ をかけます。

$- \frac{7 \cdot 3}{6} + \frac{(2^{\frac{11}{2}} - 2) \cdot 2}{6}$

ステップ 8.3.24

公分母の分子をまとめます。

$\frac{- 7 \cdot 3 + (2^{\frac{11}{2}} - 2) \cdot 2}{6}$

ステップ 8.3.25

$- 7$ に $3$ をかけます。

$\frac{- 21 + (2^{\frac{11}{2}} - 2) \cdot 2}{6}$

ステップ 8.3.26

$2$ を $2^{\frac{11}{2}} - 2$ の左に移動させます。

$\frac{- 21 + 2 (2^{\frac{11}{2}} - 2)}{6}$

ステップ 9

簡約します。

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ステップ 9.1

$- 21$ を $- 1 (21)$ に書き換えます。

$\frac{- 1 (21) + 2 (2^{\frac{11}{2}} - 2)}{6}$

ステップ 9.2

$- 1$ を $2 (2^{\frac{11}{2}} - 2)$ で因数分解します。

$\frac{- 1 (21) - (- 2 (2^{\frac{11}{2}} - 2))}{6}$

ステップ 9.3

$- 1$ を $- 1 (21) - (- 2 (2^{\frac{11}{2}} - 2))$ で因数分解します。

$\frac{- 1 (21 - 2 (2^{\frac{11}{2}} - 2))}{6}$

ステップ 9.4

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{21 - 2 (2^{\frac{11}{2}} - 2)}{6}$

ステップ 10

分子を簡約します。

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ステップ 10.1

分配則を当てはめます。

$- \frac{21 - 2 \cdot 2^{\frac{11}{2}} - 2 \cdot - 2}{6}$

ステップ 10.2

$- 2 \cdot 2^{\frac{11}{2}}$ を掛けます。

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ステップ 10.2.1

負をくくり出します。

$- \frac{21 - (2 \cdot 2^{\frac{11}{2}}) - 2 \cdot - 2}{6}$

ステップ 10.2.2

$2$ を $1$ 乗します。

$- \frac{21 - (2^{1} \cdot 2^{\frac{11}{2}}) - 2 \cdot - 2}{6}$

ステップ 10.2.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- \frac{21 - 2^{1 + \frac{11}{2}} - 2 \cdot - 2}{6}$

ステップ 10.2.4

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$- \frac{21 - 2^{\frac{2}{2} + \frac{11}{2}} - 2 \cdot - 2}{6}$

ステップ 10.2.5

公分母の分子をまとめます。

$- \frac{21 - 2^{\frac{2 + 11}{2}} - 2 \cdot - 2}{6}$

ステップ 10.2.6

$2$ と $11$ をたし算します。

$- \frac{21 - 2^{\frac{13}{2}} - 2 \cdot - 2}{6}$

ステップ 10.3

$- 2$ に $- 2$ をかけます。

$- \frac{21 - 2^{\frac{13}{2}} + 4}{6}$

ステップ 10.4

$21$ と $4$ をたし算します。

$- \frac{25 - 2^{\frac{13}{2}}}{6}$

ステップ 11

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$- \frac{25 - 2^{\frac{13}{2}}}{6}$

10進法形式：

$10.91827799 \dots$

ステップ 12

微分積分 例

微分積分例