微分積分例

$z = \ln (x^{2} + y^{2})$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (z) = \frac{d}{d x} (\ln (x^{2} + y^{2}))$

ステップ 2

$x$ に関する $z$ の微分係数は $z'$ です。

$z'$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 3.1

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = x^{2} + y^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{2} + y^{2}$ とします。

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

ステップ 3.1.2

$u$ に関する $\ln (u)$ の微分係数は $\frac{1}{u}$ です。

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

ステップ 3.1.3

$u$ のすべての発生を $x^{2} + y^{2}$ で置き換えます。

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

ステップ 3.2

微分します。

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ステップ 3.2.1

総和則では、 $x^{2} + y^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ です。

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

ステップ 3.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

ステップ 3.2.3

$y^{2}$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $y^{2}$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + 0)$

ステップ 3.2.4

分数をまとめます。

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ステップ 3.2.4.1

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x)$

ステップ 3.2.4.2

$2$ と $\frac{1}{x^{2} + y^{2}}$ をまとめます。

$\frac{2}{x^{2} + y^{2}} x$

ステップ 3.2.4.3

$\frac{2}{x^{2} + y^{2}}$ と $x$ をまとめます。

$\frac{2 x}{x^{2} + y^{2}}$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$z' = \frac{2 x}{x^{2} + y^{2}}$

ステップ 5

$z'$ を $\frac{d z}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d z}{d x} = \frac{2 x}{x^{2} + y^{2}}$

微分積分 例

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