微分積分例

$\int \frac{1}{x \sqrt{4 x^{2} + 1}} d x$

ステップ 1

$- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ である時に $x = \frac{1}{2} \tan (t)$ とします。次に $d x = \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$ 。 $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ なので、 $\frac{\sec^{2} (t)}{2}$ は正であることに注意します。

$\int \frac{1}{\frac{1}{2} \tan (t) \sqrt{4 {(\frac{1}{2} \tan (t))}^{2} + 1}} \cdot \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

ステップ 2

項を簡約します。

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ステップ 2.1

$\sqrt{4 {(\frac{1}{2} \tan (t))}^{2} + 1}$ を簡約します。

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ステップ 2.1.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.1.1.1

$\frac{1}{2}$ と $\tan (t)$ をまとめます。

$\int \frac{1}{\frac{1}{2} \tan (t) \sqrt{4 {(\frac{\tan (t)}{2})}^{2} + 1}} \cdot \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

ステップ 2.1.1.2

積の法則を $\frac{\tan (t)}{2}$ に当てはめます。

$\int \frac{1}{\frac{1}{2} \tan (t) \sqrt{4 \frac{\tan^{2} (t)}{2^{2}} + 1}} \cdot \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

ステップ 2.1.1.3

$2$ を $2$ 乗します。

$\int \frac{1}{\frac{1}{2} \tan (t) \sqrt{4 \frac{\tan^{2} (t)}{4} + 1}} \cdot \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

ステップ 2.1.1.4

$4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.1.1.4.1

共通因数を約分します。

$\int \frac{1}{\frac{1}{2} \tan (t) \sqrt{4 \frac{\tan^{2} (t)}{4} + 1}} \cdot \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

ステップ 2.1.1.4.2

式を書き換えます。

$\int \frac{1}{\frac{1}{2} \tan (t) \sqrt{\tan^{2} (t) + 1}} \cdot \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

ステップ 2.1.2

ピタゴラスの定理を当てはめます。

$\int \frac{1}{\frac{1}{2} \tan (t) \sqrt{\sec^{2} (t)}} \cdot \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

ステップ 2.1.3

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$\int \frac{1}{\frac{1}{2} \tan (t) \sec (t)} \cdot \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

ステップ 2.2

簡約します。

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ステップ 2.2.1

$\frac{1}{2}$ と $\tan (t)$ をまとめます。

$\int \frac{1}{\frac{\tan (t)}{2} \sec (t)} \cdot \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

ステップ 2.2.2

$\frac{\tan (t)}{2}$ と $\sec (t)$ をまとめます。

$\int \frac{1}{\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}} \cdot \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

ステップ 2.2.3

分数の逆数を掛け、 $\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}$ で割ります。

$\int 1 \frac{2}{\tan (t) \sec (t)} \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

ステップ 2.2.4

$\frac{2}{\tan (t) \sec (t)}$ に $1$ をかけます。

$\int \frac{2}{\tan (t) \sec (t)} \cdot \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

ステップ 2.2.5

$\frac{2}{\tan (t) \sec (t)}$ に $\frac{\sec^{2} (t)}{2}$ をかけます。

$\int \frac{2 \sec^{2} (t)}{\tan (t) \sec (t) \cdot 2} d t$

ステップ 2.2.6

$2$ を $\tan (t) \sec (t)$ の左に移動させます。

$\int \frac{2 \sec^{2} (t)}{2 \cdot (\tan (t) \sec (t))} d t$

ステップ 2.2.7

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.7.1

共通因数を約分します。

$\int \frac{2 \sec^{2} (t)}{2 \tan (t) \sec (t)} d t$

ステップ 2.2.7.2

式を書き換えます。

$\int \frac{\sec^{2} (t)}{\tan (t) \sec (t)} d t$

ステップ 2.2.8

$\sec^{2} (t)$ と $\sec (t)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.8.1

$\sec (t)$ を $\sec^{2} (t)$ で因数分解します。

$\int \frac{\sec (t) \sec (t)}{\tan (t) \sec (t)} d t$

ステップ 2.2.8.2

共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.8.2.1

$\sec (t)$ を $\tan (t) \sec (t)$ で因数分解します。

$\int \frac{\sec (t) \sec (t)}{\sec (t) \tan (t)} d t$

ステップ 2.2.8.2.2

共通因数を約分します。

$\int \frac{\sec (t) \sec (t)}{\sec (t) \tan (t)} d t$

ステップ 2.2.8.2.3

式を書き換えます。

$\int \frac{\sec (t)}{\tan (t)} d t$

ステップ 2.2.9

正弦と余弦に関して $\tan (t)$ を書き換えます。

$\int \frac{\sec (t)}{\frac{\sin (t)}{\cos (t)}} d t$

ステップ 2.2.10

正弦と余弦に関して $\sec (t)$ を書き換えます。

$\int \frac{\frac{1}{\cos (t)}}{\frac{\sin (t)}{\cos (t)}} d t$

ステップ 2.2.11

分数の逆数を掛け、 $\frac{\sin (t)}{\cos (t)}$ で割ります。

$\int \frac{1}{\cos (t)} \cdot \frac{\cos (t)}{\sin (t)} d t$

ステップ 2.2.12

$\cos (t)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.12.1

共通因数を約分します。

$\int \frac{1}{\cos (t)} \cdot \frac{\cos (t)}{\sin (t)} d t$

ステップ 2.2.12.2

式を書き換えます。

$\int \frac{1}{\sin (t)} d t$

ステップ 2.2.13

$\frac{1}{\sin (t)}$ を $\csc (t)$ に変換します。

$\int \csc (t) d t$

ステップ 3

$\csc (t)$ の $t$ に関する積分は $\ln (| \csc (t) - \cot (t) |)$ です。

$\ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C$

ステップ 4

$t$ のすべての発生を $\arctan (2 x)$ で置き換えます。

$\ln (| \csc (\arctan (2 x)) - \cot (\arctan (2 x)) |) + C$

微分積分 例

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