微分積分例

$y = \frac{4}{\sqrt{- x^{2} + 2 x - 5}}$

ステップ 1

定数倍の公式を使って微分します。

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ステップ 1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{- x^{2} + 2 x - 5}$ を ${(- x^{2} + 2 x - 5)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [\frac{4}{{(- x^{2} + 2 x - 5)}^{\frac{1}{2}}}]$

ステップ 1.2

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{4}{{(- x^{2} + 2 x - 5)}^{\frac{1}{2}}}$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(- x^{2} + 2 x - 5)}^{\frac{1}{2}}}]$ です。

$4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(- x^{2} + 2 x - 5)}^{\frac{1}{2}}}]$

ステップ 1.3

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 1.3.1

$\frac{1}{{(- x^{2} + 2 x - 5)}^{\frac{1}{2}}}$ を ${({(- x^{2} + 2 x - 5)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ に書き換えます。

$4 \frac{d}{d x} [{({(- x^{2} + 2 x - 5)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}]$

ステップ 1.3.2

${({(- x^{2} + 2 x - 5)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 1.3.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$4 \frac{d}{d x} [{(- x^{2} + 2 x - 5)}^{\frac{1}{2} \cdot - 1}]$

ステップ 1.3.2.2

$\frac{1}{2}$ と $- 1$ をまとめます。

$4 \frac{d}{d x} [{(- x^{2} + 2 x - 5)}^{\frac{- 1}{2}}]$

ステップ 1.3.2.3

分数の前に負数を移動させます。

$4 \frac{d}{d x} [{(- x^{2} + 2 x - 5)}^{- \frac{1}{2}}]$

ステップ 2

$f (x) = x^{- \frac{1}{2}}$ および $g (x) = - x^{2} + 2 x - 5$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $- x^{2} + 2 x - 5$ とします。

$4 (\frac{d}{d u} [u^{- \frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [- x^{2} + 2 x - 5])$

ステップ 2.2

$n = - \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 (- \frac{1}{2} u^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [- x^{2} + 2 x - 5])$

ステップ 2.3

$u$ のすべての発生を $- x^{2} + 2 x - 5$ で置き換えます。

$4 (- \frac{1}{2} {(- x^{2} + 2 x - 5)}^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [- x^{2} + 2 x - 5])$

ステップ 3

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$4 (- \frac{1}{2} {(- x^{2} + 2 x - 5)}^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [- x^{2} + 2 x - 5])$

ステップ 4

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$4 (- \frac{1}{2} {(- x^{2} + 2 x - 5)}^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [- x^{2} + 2 x - 5])$

ステップ 5

公分母の分子をまとめます。

$4 (- \frac{1}{2} {(- x^{2} + 2 x - 5)}^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [- x^{2} + 2 x - 5])$

ステップ 6

分子を簡約します。

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ステップ 6.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$4 (- \frac{1}{2} {(- x^{2} + 2 x - 5)}^{\frac{- 1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [- x^{2} + 2 x - 5])$

ステップ 6.2

$- 1$ から $2$ を引きます。

$4 (- \frac{1}{2} {(- x^{2} + 2 x - 5)}^{\frac{- 3}{2}} \frac{d}{d x} [- x^{2} + 2 x - 5])$

ステップ 7

分数の前に負数を移動させます。

$4 (- \frac{1}{2} {(- x^{2} + 2 x - 5)}^{- \frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [- x^{2} + 2 x - 5])$

ステップ 8

${(- x^{2} + 2 x - 5)}^{- \frac{3}{2}}$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$4 (- \frac{{(- x^{2} + 2 x - 5)}^{- \frac{3}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [- x^{2} + 2 x - 5])$

ステップ 9

式を簡約します。

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ステップ 9.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(- x^{2} + 2 x - 5)}^{- \frac{3}{2}}$ を分母に移動させます。

$4 (- \frac{1}{2 {(- x^{2} + 2 x - 5)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [- x^{2} + 2 x - 5])$

ステップ 9.2

$- 1$ に $4$ をかけます。

$- 4 (\frac{1}{2 {(- x^{2} + 2 x - 5)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [- x^{2} + 2 x - 5])$

ステップ 10

$\frac{1}{2 {(- x^{2} + 2 x - 5)}^{\frac{3}{2}}}$ と $- 4$ をまとめます。

$\frac{- 4}{2 {(- x^{2} + 2 x - 5)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [- x^{2} + 2 x - 5]$

ステップ 11

$2$ を $- 4$ で因数分解します。

$\frac{2 \cdot - 2}{2 {(- x^{2} + 2 x - 5)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [- x^{2} + 2 x - 5]$

ステップ 12

共通因数を約分します。

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ステップ 12.1

$2$ を $2 {(- x^{2} + 2 x - 5)}^{\frac{3}{2}}$ で因数分解します。

$\frac{2 \cdot - 2}{2 ({(- x^{2} + 2 x - 5)}^{\frac{3}{2}})} \frac{d}{d x} [- x^{2} + 2 x - 5]$

ステップ 12.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 \cdot - 2}{2 {(- x^{2} + 2 x - 5)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [- x^{2} + 2 x - 5]$

ステップ 12.3

式を書き換えます。

$\frac{- 2}{{(- x^{2} + 2 x - 5)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [- x^{2} + 2 x - 5]$

ステップ 13

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{2}{{(- x^{2} + 2 x - 5)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [- x^{2} + 2 x - 5]$

ステップ 14

総和則では、 $- x^{2} + 2 x - 5$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ です。

$- \frac{2}{{(- x^{2} + 2 x - 5)}^{\frac{3}{2}}} (\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 5])$

ステップ 15

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x^{2}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$- \frac{2}{{(- x^{2} + 2 x - 5)}^{\frac{3}{2}}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 5])$

ステップ 16

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- \frac{2}{{(- x^{2} + 2 x - 5)}^{\frac{3}{2}}} (- (2 x) + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 5])$

ステップ 17

$2$ に $- 1$ をかけます。

$- \frac{2}{{(- x^{2} + 2 x - 5)}^{\frac{3}{2}}} (- 2 x + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 5])$

ステップ 18

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$- \frac{2}{{(- x^{2} + 2 x - 5)}^{\frac{3}{2}}} (- 2 x + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5])$

ステップ 19

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- \frac{2}{{(- x^{2} + 2 x - 5)}^{\frac{3}{2}}} (- 2 x + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5])$

ステップ 20

$2$ に $1$ をかけます。

$- \frac{2}{{(- x^{2} + 2 x - 5)}^{\frac{3}{2}}} (- 2 x + 2 + \frac{d}{d x} [- 5])$

ステップ 21

$- 5$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 5$ の微分係数は $0$ です。

$- \frac{2}{{(- x^{2} + 2 x - 5)}^{\frac{3}{2}}} (- 2 x + 2 + 0)$

ステップ 22

$- 2 x + 2$ と $0$ をたし算します。

$- \frac{2}{{(- x^{2} + 2 x - 5)}^{\frac{3}{2}}} (- 2 x + 2)$

ステップ 23

簡約します。

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ステップ 23.1

$- \frac{2}{{(- x^{2} + 2 x - 5)}^{\frac{3}{2}}} (- 2 x + 2)$ の因数を並べ替えます。

$- (- 2 x + 2) \frac{2}{{(- x^{2} + 2 x - 5)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 23.2

分配則を当てはめます。

$(- (- 2 x) - 1 \cdot 2) \frac{2}{{(- x^{2} + 2 x - 5)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 23.3

$- 2$ に $- 1$ をかけます。

$(2 x - 1 \cdot 2) \frac{2}{{(- x^{2} + 2 x - 5)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 23.4

$- 1$ に $2$ をかけます。

$(2 x - 2) \frac{2}{{(- x^{2} + 2 x - 5)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 23.5

$2 x - 2$ に $\frac{2}{{(- x^{2} + 2 x - 5)}^{\frac{3}{2}}}$ をかけます。

$\frac{(2 x - 2) \cdot 2}{{(- x^{2} + 2 x - 5)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 23.6

分子を簡約します。

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ステップ 23.6.1

$2$ を $2 x - 2$ で因数分解します。

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ステップ 23.6.1.1

$2$ を $2 x$ で因数分解します。

$\frac{(2 (x) - 2) \cdot 2}{{(- x^{2} + 2 x - 5)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 23.6.1.2

$2$ を $- 2$ で因数分解します。

$\frac{(2 (x) + 2 (- 1)) \cdot 2}{{(- x^{2} + 2 x - 5)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 23.6.1.3

$2$ を $2 (x) + 2 (- 1)$ で因数分解します。

$\frac{2 (x - 1) \cdot 2}{{(- x^{2} + 2 x - 5)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 23.6.2

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{4 (x - 1)}{{(- x^{2} + 2 x - 5)}^{\frac{3}{2}}}$

微分積分 例

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