微分積分例

$lim_{x \to 3} \frac{{(x - 2)}^{2} - {(x - 4)}^{2}}{x - 3}$

ステップ 1

ロピタルの定理を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to 3} {(x - 2)}^{2} - {(x - 4)}^{2}}{lim_{x \to 3} x - 3}$

ステップ 1.1.2

分子の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1

$x$ が $3$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{x \to 3} {(x - 2)}^{2} - lim_{x \to 3} {(x - 4)}^{2}}{lim_{x \to 3} x - 3}$

ステップ 1.1.2.2

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を ${(x - 2)}^{2}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{{(lim_{x \to 3} x - 2)}^{2} - lim_{x \to 3} {(x - 4)}^{2}}{lim_{x \to 3} x - 3}$

ステップ 1.1.2.3

$x$ が $3$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{{(lim_{x \to 3} x - lim_{x \to 3} 2)}^{2} - lim_{x \to 3} {(x - 4)}^{2}}{lim_{x \to 3} x - 3}$

ステップ 1.1.2.4

$x$ が $3$ に近づくと定数である $2$ の極限値を求めます。

$\frac{{(lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 2)}^{2} - lim_{x \to 3} {(x - 4)}^{2}}{lim_{x \to 3} x - 3}$

ステップ 1.1.2.5

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を ${(x - 4)}^{2}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{{(lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 2)}^{2} - {(lim_{x \to 3} x - 4)}^{2}}{lim_{x \to 3} x - 3}$

ステップ 1.1.2.6

$x$ が $3$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{{(lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 2)}^{2} - {(lim_{x \to 3} x - lim_{x \to 3} 4)}^{2}}{lim_{x \to 3} x - 3}$

ステップ 1.1.2.7

$x$ が $3$ に近づくと定数である $4$ の極限値を求めます。

$\frac{{(lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 2)}^{2} - {(lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 4)}^{2}}{lim_{x \to 3} x - 3}$

ステップ 1.1.2.8

すべての $x$ に $3$ に代入し、極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.8.1

$x$ を $3$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{{(3 - 1 \cdot 2)}^{2} - {(lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 4)}^{2}}{lim_{x \to 3} x - 3}$

ステップ 1.1.2.8.2

$x$ を $3$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{{(3 - 1 \cdot 2)}^{2} - {(3 - 1 \cdot 4)}^{2}}{lim_{x \to 3} x - 3}$

ステップ 1.1.2.9

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.9.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.9.1.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{{(3 - 2)}^{2} - {(3 - 1 \cdot 4)}^{2}}{lim_{x \to 3} x - 3}$

ステップ 1.1.2.9.1.2

$3$ から $2$ を引きます。

$\frac{1^{2} - {(3 - 1 \cdot 4)}^{2}}{lim_{x \to 3} x - 3}$

ステップ 1.1.2.9.1.3

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{1 - {(3 - 1 \cdot 4)}^{2}}{lim_{x \to 3} x - 3}$

ステップ 1.1.2.9.1.4

$- 1$ に $4$ をかけます。

$\frac{1 - {(3 - 4)}^{2}}{lim_{x \to 3} x - 3}$

ステップ 1.1.2.9.1.5

$3$ から $4$ を引きます。

$\frac{1 - {(- 1)}^{2}}{lim_{x \to 3} x - 3}$

ステップ 1.1.2.9.1.6

指数を足して $- 1$ に ${(- 1)}^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.9.1.6.1

$- 1$ に ${(- 1)}^{2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.9.1.6.1.1

$- 1$ を $1$ 乗します。

$\frac{1 + {(- 1)}^{1} {(- 1)}^{2}}{lim_{x \to 3} x - 3}$

ステップ 1.1.2.9.1.6.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{1 + {(- 1)}^{1 + 2}}{lim_{x \to 3} x - 3}$

ステップ 1.1.2.9.1.6.2

$1$ と $2$ をたし算します。

$\frac{1 + {(- 1)}^{3}}{lim_{x \to 3} x - 3}$

ステップ 1.1.2.9.1.7

$- 1$ を $3$ 乗します。

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 3} x - 3}$

ステップ 1.1.2.9.2

$1$ から $1$ を引きます。

$\frac{0}{lim_{x \to 3} x - 3}$

ステップ 1.1.3

分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.1

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.1.1

$x$ が $3$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{0}{lim_{x \to 3} x - lim_{x \to 3} 3}$

ステップ 1.1.3.1.2

$x$ が $3$ に近づくと定数である $3$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 3}$

ステップ 1.1.3.2

$x$ を $3$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{3 - 1 \cdot 3}$

ステップ 1.1.3.3

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.3.1

$- 1$ に $3$ をかけます。

$\frac{0}{3 - 3}$

ステップ 1.1.3.3.2

$3$ から $3$ を引きます。

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.3.3.3

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.3.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to 3} \frac{{(x - 2)}^{2} - {(x - 4)}^{2}}{x - 3} = lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{2} - {(x - 4)}^{2}]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

ステップ 1.3

分子と分母の微分係数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{2} - {(x - 4)}^{2}]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

ステップ 1.3.2

${(x - 2)}^{2}$ を $(x - 2) (x - 2)$ に書き換えます。

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x - 2) - {(x - 4)}^{2}]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

ステップ 1.3.3

分配法則（FOIL法）を使って $(x - 2) (x - 2)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.3.1

分配則を当てはめます。

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [x (x - 2) - 2 (x - 2) - {(x - 4)}^{2}]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

ステップ 1.3.3.2

分配則を当てはめます。

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 (x - 2) - {(x - 4)}^{2}]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

ステップ 1.3.3.3

分配則を当てはめます。

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2 - {(x - 4)}^{2}]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

ステップ 1.3.4

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.4.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.4.1.1

$x$ に $x$ をかけます。

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2 - {(x - 4)}^{2}]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

ステップ 1.3.4.1.2

$- 2$ を $x$ の左に移動させます。

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 2 \cdot x - 2 x - 2 \cdot - 2 - {(x - 4)}^{2}]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

ステップ 1.3.4.1.3

$- 2$ に $- 2$ をかけます。

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x - 2 x + 4 - {(x - 4)}^{2}]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

ステップ 1.3.4.2

$- 2 x$ から $2 x$ を引きます。

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 4 - {(x - 4)}^{2}]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

ステップ 1.3.5

${(x - 4)}^{2}$ を $(x - 4) (x - 4)$ に書き換えます。

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 4 - ((x - 4) (x - 4))]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

ステップ 1.3.6

分配法則（FOIL法）を使って $(x - 4) (x - 4)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.6.1

分配則を当てはめます。

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 4 - (x (x - 4) - 4 (x - 4))]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

ステップ 1.3.6.2

分配則を当てはめます。

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 4 - (x \cdot x + x \cdot - 4 - 4 (x - 4))]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

ステップ 1.3.6.3

分配則を当てはめます。

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 4 - (x \cdot x + x \cdot - 4 - 4 x - 4 \cdot - 4)]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

ステップ 1.3.7

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.7.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.7.1.1

$x$ に $x$ をかけます。

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 4 - (x^{2} + x \cdot - 4 - 4 x - 4 \cdot - 4)]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

ステップ 1.3.7.1.2

$- 4$ を $x$ の左に移動させます。

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 4 - (x^{2} - 4 \cdot x - 4 x - 4 \cdot - 4)]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

ステップ 1.3.7.1.3

$- 4$ に $- 4$ をかけます。

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 4 - (x^{2} - 4 x - 4 x + 16)]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

ステップ 1.3.7.2

$- 4 x$ から $4 x$ を引きます。

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 4 - (x^{2} - 8 x + 16)]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

ステップ 1.3.8

総和則では、 $x^{2} - 4 x + 4 - (x^{2} - 8 x + 16)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- (x^{2} - 8 x + 16)]$ です。

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- (x^{2} - 8 x + 16)]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

ステップ 1.3.9

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 3} \frac{2 x + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- (x^{2} - 8 x + 16)]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

ステップ 1.3.10

$\frac{d}{d x} [- 4 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.10.1

$- 4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 4 x$ の微分係数は $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- (x^{2} - 8 x + 16)]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

ステップ 1.3.10.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- (x^{2} - 8 x + 16)]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

ステップ 1.3.10.3

$- 4$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 4 + \frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- (x^{2} - 8 x + 16)]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

ステップ 1.3.11

$4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $4$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 4 + 0 + \frac{d}{d x} [- (x^{2} - 8 x + 16)]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

ステップ 1.3.12

$\frac{d}{d x} [- (x^{2} - 8 x + 16)]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.12.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- (x^{2} - 8 x + 16)$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x^{2} - 8 x + 16]$ です。

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 4 + 0 - \frac{d}{d x} [x^{2} - 8 x + 16]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

ステップ 1.3.12.2

総和則では、 $x^{2} - 8 x + 16$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [16]$ です。

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 4 + 0 - (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [16])}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

ステップ 1.3.12.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 4 + 0 - (2 x + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [16])}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

ステップ 1.3.12.4

$- 8$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 8 x$ の微分係数は $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 4 + 0 - (2 x - 8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [16])}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

ステップ 1.3.12.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 4 + 0 - (2 x - 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [16])}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

ステップ 1.3.12.6

$16$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $16$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 4 + 0 - (2 x - 8 \cdot 1 + 0)}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

ステップ 1.3.12.7

$- 8$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 4 + 0 - (2 x - 8 + 0)}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

ステップ 1.3.12.8

$2 x - 8$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 4 + 0 - (2 x - 8)}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

ステップ 1.3.13

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.13.1

分配則を当てはめます。

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 4 + 0 - (2 x) - - 8}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

ステップ 1.3.13.2

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.13.2.1

$2 x - 4$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 4 - (2 x) - - 8}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

ステップ 1.3.13.2.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 4 - 2 x - - 8}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

ステップ 1.3.13.2.3

$- 1$ に $- 8$ をかけます。

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 4 - 2 x + 8}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

ステップ 1.3.13.2.4

$2 x$ から $2 x$ を引きます。

$lim_{x \to 3} \frac{0 - 4 + 8}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

ステップ 1.3.13.2.5

$0$ から $4$ を引きます。

$lim_{x \to 3} \frac{- 4 + 8}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

ステップ 1.3.13.2.6

$- 4$ と $8$ をたし算します。

$lim_{x \to 3} \frac{4}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

ステップ 1.3.14

総和則では、 $x - 3$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ です。

$lim_{x \to 3} \frac{4}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]}$

ステップ 1.3.15

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 3} \frac{4}{1 + \frac{d}{d x} [- 3]}$

ステップ 1.3.16

$- 3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 3$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to 3} \frac{4}{1 + 0}$

ステップ 1.3.17

$1$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to 3} \frac{4}{1}$

ステップ 1.4

$4$ を $1$ で割ります。

$lim_{x \to 3} 4$

ステップ 2

$x$ が $3$ に近づくと定数である $4$ の極限値を求めます。

$4$

微分積分 例

微分積分例