微分積分例

$a^{3} y = x^{2} (2 a^{2} - x^{2})$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (a^{3} y) = \frac{d}{d x} (x^{2} (2 a^{2} - x^{2}))$

ステップ 2

方程式の左辺を微分します。

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ステップ 2.1

$a^{3}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $a^{3} y$ の微分係数は $a^{3} \frac{d}{d x} [y]$ です。

$a^{3} \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$a^{3} y'$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 3.1

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = 2 a^{2} - x^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$x^{2} \frac{d}{d x} [2 a^{2} - x^{2}] + (2 a^{2} - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 3.2

微分します。

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ステップ 3.2.1

総和則では、 $2 a^{2} - x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 a^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ です。

$x^{2} (\frac{d}{d x} [2 a^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + (2 a^{2} - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 3.2.2

$2 a^{2}$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $2 a^{2}$ の微分係数は $0$ です。

$x^{2} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + (2 a^{2} - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 3.2.3

$0$ と $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ をたし算します。

$x^{2} \frac{d}{d x} [- x^{2}] + (2 a^{2} - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 3.2.4

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x^{2}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$x^{2} (- \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (2 a^{2} - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 3.2.5

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x^{2} (- (2 x)) + (2 a^{2} - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 3.2.6

$2$ に $- 1$ をかけます。

$x^{2} (- 2 x) + (2 a^{2} - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 3.3

指数を足して $x^{2}$ に $x$ を掛けます。

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ステップ 3.3.1

$x$ を移動させます。

$x \cdot x^{2} \cdot - 2 + (2 a^{2} - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 3.3.2

$x$ に $x^{2}$ をかけます。

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ステップ 3.3.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$x^{1} x^{2} \cdot - 2 + (2 a^{2} - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 3.3.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$x^{1 + 2} \cdot - 2 + (2 a^{2} - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 3.3.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$x^{3} \cdot - 2 + (2 a^{2} - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 3.4

$- 2$ を $x^{3}$ の左に移動させます。

$- 2 \cdot x^{3} + (2 a^{2} - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 3.5

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 2 x^{3} + (2 a^{2} - x^{2}) (2 x)$

ステップ 3.6

$2$ を $2 a^{2} - x^{2}$ の左に移動させます。

$- 2 x^{3} + 2 \cdot (2 a^{2} - x^{2}) x$

ステップ 3.7

簡約します。

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ステップ 3.7.1

分配則を当てはめます。

$- 2 x^{3} + (2 (2 a^{2}) + 2 (- x^{2})) x$

ステップ 3.7.2

分配則を当てはめます。

$- 2 x^{3} + 2 (2 a^{2}) x + 2 (- x^{2}) x$

ステップ 3.7.3

項をまとめます。

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ステップ 3.7.3.1

$2$ に $2$ をかけます。

$- 2 x^{3} + 4 a^{2} x + 2 (- x^{2}) x$

ステップ 3.7.3.2

$- 1$ に $2$ をかけます。

$- 2 x^{3} + 4 a^{2} x - 2 x^{2} x$

ステップ 3.7.3.3

$x$ を $1$ 乗します。

$- 2 x^{3} + 4 a^{2} x - 2 (x^{1} x^{2})$

ステップ 3.7.3.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- 2 x^{3} + 4 a^{2} x - 2 x^{1 + 2}$

ステップ 3.7.3.5

$1$ と $2$ をたし算します。

$- 2 x^{3} + 4 a^{2} x - 2 x^{3}$

ステップ 3.7.3.6

$- 2 x^{3}$ から $2 x^{3}$ を引きます。

$- 4 x^{3} + 4 a^{2} x$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$a^{3} y' = - 4 x^{3} + 4 a^{2} x$

ステップ 5

$a^{3} y' = - 4 x^{3} + 4 a^{2} x$ の各項を $a^{3}$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.1

$a^{3} y' = - 4 x^{3} + 4 a^{2} x$ の各項を $a^{3}$ で割ります。

$\frac{a^{3} y'}{a^{3}} = \frac{- 4 x^{3}}{a^{3}} + \frac{4 a^{2} x}{a^{3}}$

ステップ 5.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.2.1

$a^{3}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{a^{3} y'}{a^{3}} = \frac{- 4 x^{3}}{a^{3}} + \frac{4 a^{2} x}{a^{3}}$

ステップ 5.2.1.2

$y'$ を $1$ で割ります。

$y' = \frac{- 4 x^{3}}{a^{3}} + \frac{4 a^{2} x}{a^{3}}$

ステップ 5.3

右辺を簡約します。

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ステップ 5.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 5.3.1.1

分数の前に負数を移動させます。

$y' = - \frac{4 x^{3}}{a^{3}} + \frac{4 a^{2} x}{a^{3}}$

ステップ 5.3.1.2

$a^{2}$ と $a^{3}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.1.2.1

$a^{2}$ を $4 a^{2} x$ で因数分解します。

$y' = - \frac{4 x^{3}}{a^{3}} + \frac{a^{2} (4 x)}{a^{3}}$

ステップ 5.3.1.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.1.2.2.1

$a^{2}$ を $a^{3}$ で因数分解します。

$y' = - \frac{4 x^{3}}{a^{3}} + \frac{a^{2} (4 x)}{a^{2} a}$

ステップ 5.3.1.2.2.2

共通因数を約分します。

$y' = - \frac{4 x^{3}}{a^{3}} + \frac{a^{2} (4 x)}{a^{2} a}$

ステップ 5.3.1.2.2.3

式を書き換えます。

$y' = - \frac{4 x^{3}}{a^{3}} + \frac{4 x}{a}$

ステップ 6

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{4 x^{3}}{a^{3}} + \frac{4 x}{a}$

微分積分 例

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