微分積分例

$\int \sqrt{\frac{x^{2}}{2}} d x$

ステップ 1

$u_{2} = \sqrt{\frac{x^{2}}{2}}$ とします。次に $d u_{2} = \frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} d x$ すると、 $2^{\frac{1}{2}} d u_{2} = d x$ です。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 1.1

$u_{2} = \sqrt{\frac{x^{2}}{2}}$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d x}$ を求めます。

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ステップ 1.1.1

$\sqrt{\frac{x^{2}}{2}}$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [\sqrt{\frac{x^{2}}{2}}]$

ステップ 1.1.2

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{\frac{x^{2}}{2}}$ を ${(\frac{x^{2}}{2})}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [{(\frac{x^{2}}{2})}^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 1.1.3

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ および $g (x) = \frac{x^{2}}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $\frac{x^{2}}{2}$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}]$

ステップ 1.1.3.2

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ は $n {u_{1}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}]$

ステップ 1.1.3.3

$u_{1}$ のすべての発生を $\frac{x^{2}}{2}$ で置き換えます。

$\frac{1}{2} {(\frac{x^{2}}{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}]$

ステップ 1.1.4

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{1}{2} {(\frac{x^{2}}{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}]$

ステップ 1.1.5

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{2} {(\frac{x^{2}}{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}]$

ステップ 1.1.6

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{2} {(\frac{x^{2}}{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}]$

ステップ 1.1.7

分子を簡約します。

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ステップ 1.1.7.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{2} {(\frac{x^{2}}{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}]$

ステップ 1.1.7.2

$1$ から $2$ を引きます。

$\frac{1}{2} {(\frac{x^{2}}{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}]$

ステップ 1.1.8

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{2} {(\frac{x^{2}}{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}]$

ステップ 1.1.9

$\frac{1}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{x^{2}}{2}$ の微分係数は $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$\frac{1}{2} {(\frac{x^{2}}{2})}^{- \frac{1}{2}} (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 1.1.10

分数をまとめます。

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ステップ 1.1.10.1

$\frac{1}{2}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$\frac{1}{2 \cdot 2} {(\frac{x^{2}}{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 1.1.10.2

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{4} {(\frac{x^{2}}{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 1.1.11

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{4} {(\frac{x^{2}}{2})}^{- \frac{1}{2}} (2 x)$

ステップ 1.1.12

項を簡約します。

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ステップ 1.1.12.1

$2$ と $\frac{1}{4}$ をまとめます。

$\frac{2}{4} {(\frac{x^{2}}{2})}^{- \frac{1}{2}} x$

ステップ 1.1.12.2

$x$ と $\frac{2}{4}$ をまとめます。

$\frac{x \cdot 2}{4} {(\frac{x^{2}}{2})}^{- \frac{1}{2}}$

ステップ 1.1.12.3

$2$ を $x$ の左に移動させます。

$\frac{2 \cdot x}{4} {(\frac{x^{2}}{2})}^{- \frac{1}{2}}$

ステップ 1.1.12.4

$2$ と $4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.1.12.4.1

$2$ を $2 x$ で因数分解します。

$\frac{2 (x)}{4} {(\frac{x^{2}}{2})}^{- \frac{1}{2}}$

ステップ 1.1.12.4.2

共通因数を約分します。

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ステップ 1.1.12.4.2.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$\frac{2 x}{2 \cdot 2} {(\frac{x^{2}}{2})}^{- \frac{1}{2}}$

ステップ 1.1.12.4.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 x}{2 \cdot 2} {(\frac{x^{2}}{2})}^{- \frac{1}{2}}$

ステップ 1.1.12.4.2.3

式を書き換えます。

$\frac{x}{2} {(\frac{x^{2}}{2})}^{- \frac{1}{2}}$

ステップ 1.1.13

簡約します。

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ステップ 1.1.13.1

底を逆数に書き換えて、指数の符号を変更します。

$\frac{x}{2} {(\frac{2}{x^{2}})}^{\frac{1}{2}}$

ステップ 1.1.13.2

積の法則を $\frac{2}{x^{2}}$ に当てはめます。

$\frac{x}{2} \cdot \frac{2^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.1.13.3

項をまとめます。

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ステップ 1.1.13.3.1

${(x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ の指数を掛けます。

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ステップ 1.1.13.3.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{x}{2} \cdot \frac{2^{\frac{1}{2}}}{x^{2 (\frac{1}{2})}}$

ステップ 1.1.13.3.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.1.13.3.1.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{x}{2} \cdot \frac{2^{\frac{1}{2}}}{x^{2 (\frac{1}{2})}}$

ステップ 1.1.13.3.1.2.2

式を書き換えます。

$\frac{x}{2} \cdot \frac{2^{\frac{1}{2}}}{x^{1}}$

ステップ 1.1.13.3.2

簡約します。

$\frac{x}{2} \cdot \frac{2^{\frac{1}{2}}}{x}$

ステップ 1.1.13.3.3

$\frac{x}{2}$ に $\frac{2^{\frac{1}{2}}}{x}$ をかけます。

$\frac{x \cdot 2^{\frac{1}{2}}}{2 x}$

ステップ 1.1.13.3.4

負の指数法則 $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ を利用して $2^{\frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$\frac{x}{2 x \cdot 2^{- \frac{1}{2}}}$

ステップ 1.1.13.3.5

指数を足して $2$ に $2^{- \frac{1}{2}}$ を掛けます。

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ステップ 1.1.13.3.5.1

$2^{- \frac{1}{2}}$ を移動させます。

$\frac{x}{2^{- \frac{1}{2}} \cdot 2 x}$

ステップ 1.1.13.3.5.2

$2^{- \frac{1}{2}}$ に $2$ をかけます。

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ステップ 1.1.13.3.5.2.1

$2$ を $1$ 乗します。

$\frac{x}{2^{- \frac{1}{2}} \cdot 2^{1} x}$

ステップ 1.1.13.3.5.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{x}{2^{- \frac{1}{2} + 1} x}$

ステップ 1.1.13.3.5.3

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\frac{x}{2^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}} x}$

ステップ 1.1.13.3.5.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{x}{2^{\frac{- 1 + 2}{2}} x}$

ステップ 1.1.13.3.5.5

$- 1$ と $2$ をたし算します。

$\frac{x}{2^{\frac{1}{2}} x}$

ステップ 1.1.13.3.6

共通因数を約分します。

$\frac{x}{2^{\frac{1}{2}} x}$

ステップ 1.1.13.3.7

式を書き換えます。

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.2

$u_{2}$ と $d u_{2}$ を利用して問題を書き換えます。

$\int u_{2} \frac{1}{\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}}} d u_{2}$

ステップ 2

簡約します。

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ステップ 2.1

分数の逆数を掛け、 $\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}}$ で割ります。

$\int u_{2} (1 \cdot 2^{\frac{1}{2}}) d u_{2}$

ステップ 2.2

$2^{\frac{1}{2}}$ に $1$ をかけます。

$\int u_{2} \cdot 2^{\frac{1}{2}} d u_{2}$

ステップ 3

$2^{\frac{1}{2}}$ は $u_{2}$ に対して定数なので、 $2^{\frac{1}{2}}$ を積分の外に移動させます。

$2^{\frac{1}{2}} \int u_{2} d u_{2}$

ステップ 4

べき乗則では、 $u_{2}$ の $u_{2}$ に関する積分は $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ です。

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$

ステップ 5

簡約します。

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ステップ 5.1

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$ を $2^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C$ に書き換えます。

$2^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C$

ステップ 5.2

簡約します。

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ステップ 5.2.1

$2^{\frac{1}{2}}$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\frac{2^{\frac{1}{2}}}{2} {u_{2}}^{2} + C$

ステップ 5.2.2

負の指数法則 $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ を利用して $2^{\frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$\frac{1}{2 \cdot 2^{- \frac{1}{2}}} {u_{2}}^{2} + C$

ステップ 5.2.3

指数を足して $2$ に $2^{- \frac{1}{2}}$ を掛けます。

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ステップ 5.2.3.1

$2$ に $2^{- \frac{1}{2}}$ をかけます。

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ステップ 5.2.3.1.1

$2$ を $1$ 乗します。

$\frac{1}{2^{1} \cdot 2^{- \frac{1}{2}}} {u_{2}}^{2} + C$

ステップ 5.2.3.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{1}{2^{1 - \frac{1}{2}}} {u_{2}}^{2} + C$

ステップ 5.2.3.2

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\frac{1}{2^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} {u_{2}}^{2} + C$

ステップ 5.2.3.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{2^{\frac{2 - 1}{2}}} {u_{2}}^{2} + C$

ステップ 5.2.3.4

$2$ から $1$ を引きます。

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} {u_{2}}^{2} + C$

ステップ 6

$u_{2}$ のすべての発生を $\sqrt{\frac{x^{2}}{2}}$ で置き換えます。

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} {\sqrt{\frac{x^{2}}{2}}}^{2} + C$

ステップ 7

項を並べ替えます。

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} {\sqrt{\frac{1}{2} x^{2}}}^{2} + C$

微分積分 例

微分積分例