微分積分例

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\sin (x - \frac{π}{4})}{x}$

ステップ 1

$x$ が $\frac{π}{2}$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$\frac{lim_{x \to \frac{π}{2}} \sin (x - \frac{π}{4})}{lim_{x \to \frac{π}{2}} x}$

ステップ 2

正弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\frac{\sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x - \frac{π}{4})}{lim_{x \to \frac{π}{2}} x}$

ステップ 3

$x$ が $\frac{π}{2}$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{\sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x - lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{π}{4})}{lim_{x \to \frac{π}{2}} x}$

ステップ 4

$x$ が $\frac{π}{2}$ に近づくと定数である $\frac{π}{4}$ の極限値を求めます。

$\frac{\sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x - \frac{π}{4})}{lim_{x \to \frac{π}{2}} x}$

ステップ 5

すべての $x$ に $\frac{π}{2}$ に代入し、極限値を求めます。

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ステップ 5.1

$x$ を $\frac{π}{2}$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{\sin (\frac{π}{2} - \frac{π}{4})}{lim_{x \to \frac{π}{2}} x}$

ステップ 5.2

$x$ を $\frac{π}{2}$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{\sin (\frac{π}{2} - \frac{π}{4})}{\frac{π}{2}}$

ステップ 6

答えを簡約します。

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ステップ 6.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$\sin (\frac{π}{2} - \frac{π}{4}) \frac{2}{π}$

ステップ 6.2

$\frac{π}{2}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\sin (\frac{π}{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{4}) \frac{2}{π}$

ステップ 6.3

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $4$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 6.3.1

$\frac{π}{2}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$\sin (\frac{π \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{π}{4}) \frac{2}{π}$

ステップ 6.3.2

$2$ に $2$ をかけます。

$\sin (\frac{π \cdot 2}{4} - \frac{π}{4}) \frac{2}{π}$

ステップ 6.4

公分母の分子をまとめます。

$\sin (\frac{π \cdot 2 - π}{4}) \frac{2}{π}$

ステップ 6.5

分子を簡約します。

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ステップ 6.5.1

$2$ を $π$ の左に移動させます。

$\sin (\frac{2 \cdot π - π}{4}) \frac{2}{π}$

ステップ 6.5.2

$2 π$ から $π$ を引きます。

$\sin (\frac{π}{4}) \frac{2}{π}$

ステップ 6.6

$\sin (\frac{π}{4})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{2}}{2}$ です。

$\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{π}$

ステップ 6.7

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.7.1

共通因数を約分します。

$\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{π}$

ステップ 6.7.2

式を書き換えます。

$\sqrt{2} \frac{1}{π}$

ステップ 6.8

$\sqrt{2}$ と $\frac{1}{π}$ をまとめます。

$\frac{\sqrt{2}}{π}$

ステップ 7

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{\sqrt{2}}{π}$

10進法形式：

$0.45015815 \dots$

微分積分 例

微分積分例