微分積分例

$D_{x} (\frac{2 x + 5}{x^{2} - 1})$

ステップ 1

定数倍の公式を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$D_{x}$ と $\frac{2 x + 5}{x^{2} - 1}$ をまとめます。

$\frac{d}{d x} [\frac{D_{x} (2 x + 5)}{x^{2} - 1}]$

ステップ 1.2

$D_{x}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{D_{x} (2 x + 5)}{x^{2} - 1}$ の微分係数は $D_{x} \frac{d}{d x} [\frac{2 x + 5}{x^{2} - 1}]$ です。

$D_{x} \frac{d}{d x} [\frac{2 x + 5}{x^{2} - 1}]$

ステップ 2

$f (x) = 2 x + 5$ および $g (x) = x^{2} - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$D_{x} \frac{(x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [2 x + 5] - (2 x + 5) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

ステップ 3

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

総和則では、 $2 x + 5$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [5]$ です。

$D_{x} \frac{(x^{2} - 1) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [5]) - (2 x + 5) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

ステップ 3.2

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$D_{x} \frac{(x^{2} - 1) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]) - (2 x + 5) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

ステップ 3.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$D_{x} \frac{(x^{2} - 1) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5]) - (2 x + 5) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

ステップ 3.4

$2$ に $1$ をかけます。

$D_{x} \frac{(x^{2} - 1) (2 + \frac{d}{d x} [5]) - (2 x + 5) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

ステップ 3.5

$5$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $5$ の微分係数は $0$ です。

$D_{x} \frac{(x^{2} - 1) (2 + 0) - (2 x + 5) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

ステップ 3.6

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.1

$2$ と $0$ をたし算します。

$D_{x} \frac{(x^{2} - 1) \cdot 2 - (2 x + 5) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

ステップ 3.6.2

$2$ を $x^{2} - 1$ の左に移動させます。

$D_{x} \frac{2 \cdot (x^{2} - 1) - (2 x + 5) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

ステップ 3.7

総和則では、 $x^{2} - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$D_{x} \frac{2 (x^{2} - 1) - (2 x + 5) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

ステップ 3.8

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$D_{x} \frac{2 (x^{2} - 1) - (2 x + 5) (2 x + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

ステップ 3.9

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$D_{x} \frac{2 (x^{2} - 1) - (2 x + 5) (2 x + 0)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

ステップ 3.10

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.10.1

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$D_{x} \frac{2 (x^{2} - 1) - (2 x + 5) (2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

ステップ 3.10.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$D_{x} \frac{2 (x^{2} - 1) - 2 (2 x + 5) x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

ステップ 3.10.3

$D_{x}$ と $\frac{2 (x^{2} - 1) - 2 (2 x + 5) x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$ をまとめます。

$\frac{D_{x} (2 (x^{2} - 1) - 2 (2 x + 5) x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

ステップ 4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

分配則を当てはめます。

$\frac{D_{x} (2 x^{2} + 2 \cdot - 1 - 2 (2 x + 5) x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

ステップ 4.2

分配則を当てはめます。

$\frac{D_{x} (2 x^{2} + 2 \cdot - 1 + (- 2 (2 x) - 2 \cdot 5) x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

ステップ 4.3

分配則を当てはめます。

$\frac{D_{x} (2 x^{2} + 2 \cdot - 1 - 2 (2 x) x - 2 \cdot 5 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

ステップ 4.4

分配則を当てはめます。

$\frac{D_{x} (2 x^{2}) + D_{x} (2 \cdot - 1) + D_{x} (- 2 (2 x) x) + D_{x} (- 2 \cdot 5 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

ステップ 4.5

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.5.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.5.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{2 D_{x} x^{2} + D_{x} (2 \cdot - 1) + D_{x} (- 2 (2 x) x) + D_{x} (- 2 \cdot 5 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

ステップ 4.5.1.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{2 D_{x} x^{2} + D_{x} \cdot - 2 + D_{x} (- 2 (2 x) x) + D_{x} (- 2 \cdot 5 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

ステップ 4.5.1.3

$- 2$ を $D_{x}$ の左に移動させます。

$\frac{2 D_{x} x^{2} - 2 \cdot D_{x} + D_{x} (- 2 (2 x) x) + D_{x} (- 2 \cdot 5 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

ステップ 4.5.1.4

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{2 D_{x} x^{2} - 2 D_{x} - 2 \cdot 2 D_{x} x \cdot x + D_{x} (- 2 \cdot 5 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

ステップ 4.5.1.5

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.5.1.5.1

$x$ を移動させます。

$\frac{2 D_{x} x^{2} - 2 D_{x} - 2 \cdot 2 D_{x} (x \cdot x) + D_{x} (- 2 \cdot 5 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

ステップ 4.5.1.5.2

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{2 D_{x} x^{2} - 2 D_{x} - 2 \cdot 2 D_{x} x^{2} + D_{x} (- 2 \cdot 5 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

ステップ 4.5.1.6

$- 2$ に $2$ をかけます。

$\frac{2 D_{x} x^{2} - 2 D_{x} - 4 D_{x} x^{2} + D_{x} (- 2 \cdot 5 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

ステップ 4.5.1.7

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{2 D_{x} x^{2} - 2 D_{x} - 4 D_{x} x^{2} - 2 \cdot 5 D_{x} x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

ステップ 4.5.1.8

$- 2$ に $5$ をかけます。

$\frac{2 D_{x} x^{2} - 2 D_{x} - 4 D_{x} x^{2} - 10 D_{x} x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

ステップ 4.5.2

$2 D_{x} x^{2}$ から $4 D_{x} x^{2}$ を引きます。

$\frac{- 2 D_{x} - 2 D_{x} x^{2} - 10 D_{x} x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

ステップ 4.6

項を並べ替えます。

$\frac{- 2 D_{x} - 2 x^{2} D_{x} - 10 D_{x} x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

ステップ 4.7

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.7.1

$2 D_{x}$ を $- 2 D_{x} - 2 x^{2} D_{x} - 10 D_{x} x$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.7.1.1

$2 D_{x}$ を $- 2 D_{x}$ で因数分解します。

$\frac{2 D_{x} (- 1) - 2 x^{2} D_{x} - 10 D_{x} x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

ステップ 4.7.1.2

$2 D_{x}$ を $- 2 x^{2} D_{x}$ で因数分解します。

$\frac{2 D_{x} (- 1) + 2 D_{x} (- x^{2}) - 10 D_{x} x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

ステップ 4.7.1.3

$2 D_{x}$ を $- 10 D_{x} x$ で因数分解します。

$\frac{2 D_{x} (- 1) + 2 D_{x} (- x^{2}) + 2 D_{x} (- 5 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

ステップ 4.7.1.4

$2 D_{x}$ を $2 D_{x} (- 1) + 2 D_{x} (- x^{2})$ で因数分解します。

$\frac{2 D_{x} (- 1 - x^{2}) + 2 D_{x} (- 5 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

ステップ 4.7.1.5

$2 D_{x}$ を $2 D_{x} (- 1 - x^{2}) + 2 D_{x} (- 5 x)$ で因数分解します。

$\frac{2 D_{x} (- 1 - x^{2} - 5 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

ステップ 4.7.2

項を並べ替えます。

$\frac{2 D_{x} (- x^{2} - 5 x - 1)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

ステップ 4.8

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.8.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$\frac{2 D_{x} (- x^{2} - 5 x - 1)}{{(x^{2} - 1^{2})}^{2}}$

ステップ 4.8.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 1$ です。

$\frac{2 D_{x} (- x^{2} - 5 x - 1)}{{((x + 1) (x - 1))}^{2}}$

ステップ 4.8.3

積の法則を $(x + 1) (x - 1)$ に当てはめます。

$\frac{2 D_{x} (- x^{2} - 5 x - 1)}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

ステップ 4.9

$- 1$ を $- x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{2 D_{x} (- (x^{2}) - 5 x - 1)}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

ステップ 4.10

$- 1$ を $- 5 x$ で因数分解します。

$\frac{2 D_{x} (- (x^{2}) - (5 x) - 1)}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

ステップ 4.11

$- 1$ を $- (x^{2}) - (5 x)$ で因数分解します。

$\frac{2 D_{x} (- (x^{2} + 5 x) - 1)}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

ステップ 4.12

$- 1$ を $- 1 (1)$ に書き換えます。

$\frac{2 D_{x} (- (x^{2} + 5 x) - 1 (1))}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

ステップ 4.13

$- 1$ を $- (x^{2} + 5 x) - 1 (1)$ で因数分解します。

$\frac{2 D_{x} (- (x^{2} + 5 x + 1))}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

ステップ 4.14

$- (x^{2} + 5 x + 1)$ を $- 1 (x^{2} + 5 x + 1)$ に書き換えます。

$\frac{2 D_{x} (- 1 (x^{2} + 5 x + 1))}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

ステップ 4.15

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{(2 D_{x}) (x^{2} + 5 x + 1)}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

ステップ 4.16

$- \frac{(2 D_{x}) (x^{2} + 5 x + 1)}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$ の因数を並べ替えます。

$- \frac{2 D_{x} (x^{2} + 5 x + 1)}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

微分積分 例

微分積分例