微分積分例

$y = x^{n} {(a + b x)}^{m}$

ステップ 1

$f (x) = x^{n}$ および $g (x) = {(a + b x)}^{m}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$x^{n} \frac{d}{d x} [{(a + b x)}^{m}] + {(a + b x)}^{m} \frac{d}{d x} [x^{n}]$

ステップ 2

$f (x) = x^{m}$ および $g (x) = a + b x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $a + b x$ とします。

$x^{n} (\frac{d}{d u} [u^{m}] \frac{d}{d x} [a + b x]) + {(a + b x)}^{m} \frac{d}{d x} [x^{n}]$

ステップ 2.2

$n = m$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x^{n} (m u^{m - 1} \frac{d}{d x} [a + b x]) + {(a + b x)}^{m} \frac{d}{d x} [x^{n}]$

ステップ 2.3

$u$ のすべての発生を $a + b x$ で置き換えます。

$x^{n} (m {(a + b x)}^{m - 1} \frac{d}{d x} [a + b x]) + {(a + b x)}^{m} \frac{d}{d x} [x^{n}]$

ステップ 3

微分します。

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ステップ 3.1

総和則では、 $a + b x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [a] + \frac{d}{d x} [b x]$ です。

$x^{n} (m {(a + b x)}^{m - 1} (\frac{d}{d x} [a] + \frac{d}{d x} [b x])) + {(a + b x)}^{m} \frac{d}{d x} [x^{n}]$

ステップ 3.2

$a$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $a$ の微分係数は $0$ です。

$x^{n} (m {(a + b x)}^{m - 1} (0 + \frac{d}{d x} [b x])) + {(a + b x)}^{m} \frac{d}{d x} [x^{n}]$

ステップ 3.3

$0$ と $\frac{d}{d x} [b x]$ をたし算します。

$x^{n} (m {(a + b x)}^{m - 1} \frac{d}{d x} [b x]) + {(a + b x)}^{m} \frac{d}{d x} [x^{n}]$

ステップ 3.4

$b$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $b x$ の微分係数は $b \frac{d}{d x} [x]$ です。

$x^{n} (m {(a + b x)}^{m - 1} (b \frac{d}{d x} [x])) + {(a + b x)}^{m} \frac{d}{d x} [x^{n}]$

ステップ 3.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x^{n} (m {(a + b x)}^{m - 1} (b \cdot 1)) + {(a + b x)}^{m} \frac{d}{d x} [x^{n}]$

ステップ 3.6

$b$ に $1$ をかけます。

$x^{n} (m {(a + b x)}^{m - 1} b) + {(a + b x)}^{m} \frac{d}{d x} [x^{n}]$

ステップ 3.7

$n = n$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x^{n} (m {(a + b x)}^{m - 1} b) + {(a + b x)}^{m} (n x^{n - 1})$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

項を並べ替えます。

$x^{n} b m {(a + b x)}^{m - 1} + x^{n - 1} n {(a + b x)}^{m}$

ステップ 4.2

$x^{n} b m {(a + b x)}^{m - 1} + x^{n - 1} n {(a + b x)}^{m}$ の因数を並べ替えます。

$b m x^{n} {(a + b x)}^{m - 1} + n x^{n - 1} {(a + b x)}^{m}$

微分積分 例

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