微分積分例

$\frac{70 t}{{(3 t^{2} + 8)}^{2}}$

ステップ 1

$70$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $\frac{70 t}{{(3 t^{2} + 8)}^{2}}$ の微分係数は $70 \frac{d}{d t} [\frac{t}{{(3 t^{2} + 8)}^{2}}]$ です。

$70 \frac{d}{d t} [\frac{t}{{(3 t^{2} + 8)}^{2}}]$

ステップ 2

$f (t) = t$ および $g (t) = {(3 t^{2} + 8)}^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ は $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$70 \frac{{(3 t^{2} + 8)}^{2} \frac{d}{d t} [t] - t \frac{d}{d t} [{(3 t^{2} + 8)}^{2}]}{{({(3 t^{2} + 8)}^{2})}^{2}}$

ステップ 3

べき乗則を使って微分します。

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ステップ 3.1

${({(3 t^{2} + 8)}^{2})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 3.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$70 \frac{{(3 t^{2} + 8)}^{2} \frac{d}{d t} [t] - t \frac{d}{d t} [{(3 t^{2} + 8)}^{2}]}{{(3 t^{2} + 8)}^{2 \cdot 2}}$

ステップ 3.1.2

$2$ に $2$ をかけます。

$70 \frac{{(3 t^{2} + 8)}^{2} \frac{d}{d t} [t] - t \frac{d}{d t} [{(3 t^{2} + 8)}^{2}]}{{(3 t^{2} + 8)}^{4}}$

ステップ 3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$70 \frac{{(3 t^{2} + 8)}^{2} \cdot 1 - t \frac{d}{d t} [{(3 t^{2} + 8)}^{2}]}{{(3 t^{2} + 8)}^{4}}$

ステップ 3.3

${(3 t^{2} + 8)}^{2}$ に $1$ をかけます。

$70 \frac{{(3 t^{2} + 8)}^{2} - t \frac{d}{d t} [{(3 t^{2} + 8)}^{2}]}{{(3 t^{2} + 8)}^{4}}$

ステップ 4

$f (t) = t^{2}$ および $g (t) = 3 t^{2} + 8$ のとき、 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ は $f' (g (t)) g' (t)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 4.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $3 t^{2} + 8$ とします。

$70 \frac{{(3 t^{2} + 8)}^{2} - t (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d t} [3 t^{2} + 8])}{{(3 t^{2} + 8)}^{4}}$

ステップ 4.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$70 \frac{{(3 t^{2} + 8)}^{2} - t (2 u \frac{d}{d t} [3 t^{2} + 8])}{{(3 t^{2} + 8)}^{4}}$

ステップ 4.3

$u$ のすべての発生を $3 t^{2} + 8$ で置き換えます。

$70 \frac{{(3 t^{2} + 8)}^{2} - t (2 (3 t^{2} + 8) \frac{d}{d t} [3 t^{2} + 8])}{{(3 t^{2} + 8)}^{4}}$

ステップ 5

くくりだして簡約します。

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ステップ 5.1

$2$ に $- 1$ をかけます。

$70 \frac{{(3 t^{2} + 8)}^{2} - 2 t ((3 t^{2} + 8) \frac{d}{d t} [3 t^{2} + 8])}{{(3 t^{2} + 8)}^{4}}$

ステップ 5.2

$3 t^{2} + 8$ を ${(3 t^{2} + 8)}^{2} - 2 t ((3 t^{2} + 8) \frac{d}{d t} [3 t^{2} + 8])$ で因数分解します。

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ステップ 5.2.1

$3 t^{2} + 8$ を ${(3 t^{2} + 8)}^{2}$ で因数分解します。

$70 \frac{(3 t^{2} + 8) (3 t^{2} + 8) - 2 t ((3 t^{2} + 8) \frac{d}{d t} [3 t^{2} + 8])}{{(3 t^{2} + 8)}^{4}}$

ステップ 5.2.2

$3 t^{2} + 8$ を $- 2 t ((3 t^{2} + 8) \frac{d}{d t} [3 t^{2} + 8])$ で因数分解します。

$70 \frac{(3 t^{2} + 8) (3 t^{2} + 8) + (3 t^{2} + 8) (- 2 t (\frac{d}{d t} [3 t^{2} + 8]))}{{(3 t^{2} + 8)}^{4}}$

ステップ 5.2.3

$3 t^{2} + 8$ を $(3 t^{2} + 8) (3 t^{2} + 8) + (3 t^{2} + 8) (- 2 t (\frac{d}{d t} [3 t^{2} + 8]))$ で因数分解します。

$70 \frac{(3 t^{2} + 8) (3 t^{2} + 8 - 2 t (\frac{d}{d t} [3 t^{2} + 8]))}{{(3 t^{2} + 8)}^{4}}$

ステップ 6

共通因数を約分します。

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ステップ 6.1

$3 t^{2} + 8$ を ${(3 t^{2} + 8)}^{4}$ で因数分解します。

$70 \frac{(3 t^{2} + 8) (3 t^{2} + 8 - 2 t (\frac{d}{d t} [3 t^{2} + 8]))}{(3 t^{2} + 8) {(3 t^{2} + 8)}^{3}}$

ステップ 6.2

共通因数を約分します。

$70 \frac{(3 t^{2} + 8) (3 t^{2} + 8 - 2 t (\frac{d}{d t} [3 t^{2} + 8]))}{(3 t^{2} + 8) {(3 t^{2} + 8)}^{3}}$

ステップ 6.3

式を書き換えます。

$70 \frac{3 t^{2} + 8 - 2 t (\frac{d}{d t} [3 t^{2} + 8])}{{(3 t^{2} + 8)}^{3}}$

ステップ 7

総和則では、 $3 t^{2} + 8$ の $t$ に関する積分は $\frac{d}{d t} [3 t^{2}] + \frac{d}{d t} [8]$ です。

$70 \frac{3 t^{2} + 8 - 2 t (\frac{d}{d t} [3 t^{2}] + \frac{d}{d t} [8])}{{(3 t^{2} + 8)}^{3}}$

ステップ 8

$3$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $3 t^{2}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ です。

$70 \frac{3 t^{2} + 8 - 2 t (3 \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [8])}{{(3 t^{2} + 8)}^{3}}$

ステップ 9

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$70 \frac{3 t^{2} + 8 - 2 t (3 (2 t) + \frac{d}{d t} [8])}{{(3 t^{2} + 8)}^{3}}$

ステップ 10

$2$ に $3$ をかけます。

$70 \frac{3 t^{2} + 8 - 2 t (6 t + \frac{d}{d t} [8])}{{(3 t^{2} + 8)}^{3}}$

ステップ 11

$8$ は $t$ について定数なので、 $t$ について $8$ の微分係数は $0$ です。

$70 \frac{3 t^{2} + 8 - 2 t (6 t + 0)}{{(3 t^{2} + 8)}^{3}}$

ステップ 12

式を簡約します。

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ステップ 12.1

$6 t$ と $0$ をたし算します。

$70 \frac{3 t^{2} + 8 - 2 t (6 t)}{{(3 t^{2} + 8)}^{3}}$

ステップ 12.2

$6$ に $- 2$ をかけます。

$70 \frac{3 t^{2} + 8 - 12 t \cdot t}{{(3 t^{2} + 8)}^{3}}$

ステップ 13

$t$ を $1$ 乗します。

$70 \frac{3 t^{2} + 8 - 12 (t^{1} t)}{{(3 t^{2} + 8)}^{3}}$

ステップ 14

$t$ を $1$ 乗します。

$70 \frac{3 t^{2} + 8 - 12 (t^{1} t^{1})}{{(3 t^{2} + 8)}^{3}}$

ステップ 15

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$70 \frac{3 t^{2} + 8 - 12 t^{1 + 1}}{{(3 t^{2} + 8)}^{3}}$

ステップ 16

$1$ と $1$ をたし算します。

$70 \frac{3 t^{2} + 8 - 12 t^{2}}{{(3 t^{2} + 8)}^{3}}$

ステップ 17

$3 t^{2}$ から $12 t^{2}$ を引きます。

$70 \frac{- 9 t^{2} + 8}{{(3 t^{2} + 8)}^{3}}$

ステップ 18

$70$ と $\frac{- 9 t^{2} + 8}{{(3 t^{2} + 8)}^{3}}$ をまとめます。

$\frac{70 (- 9 t^{2} + 8)}{{(3 t^{2} + 8)}^{3}}$

ステップ 19

簡約します。

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ステップ 19.1

分配則を当てはめます。

$\frac{70 (- 9 t^{2}) + 70 \cdot 8}{{(3 t^{2} + 8)}^{3}}$

ステップ 19.2

各項を簡約します。

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ステップ 19.2.1

$- 9$ に $70$ をかけます。

$\frac{- 630 t^{2} + 70 \cdot 8}{{(3 t^{2} + 8)}^{3}}$

ステップ 19.2.2

$70$ に $8$ をかけます。

$\frac{- 630 t^{2} + 560}{{(3 t^{2} + 8)}^{3}}$

ステップ 19.3

$70$ を $- 630 t^{2} + 560$ で因数分解します。

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ステップ 19.3.1

$70$ を $- 630 t^{2}$ で因数分解します。

$\frac{70 (- 9 t^{2}) + 560}{{(3 t^{2} + 8)}^{3}}$

ステップ 19.3.2

$70$ を $560$ で因数分解します。

$\frac{70 (- 9 t^{2}) + 70 (8)}{{(3 t^{2} + 8)}^{3}}$

ステップ 19.3.3

$70$ を $70 (- 9 t^{2}) + 70 (8)$ で因数分解します。

$\frac{70 (- 9 t^{2} + 8)}{{(3 t^{2} + 8)}^{3}}$

ステップ 19.4

$- 1$ を $- 9 t^{2}$ で因数分解します。

$\frac{70 (- (9 t^{2}) + 8)}{{(3 t^{2} + 8)}^{3}}$

ステップ 19.5

$8$ を $- 1 (- 8)$ に書き換えます。

$\frac{70 (- (9 t^{2}) - 1 (- 8))}{{(3 t^{2} + 8)}^{3}}$

ステップ 19.6

$- 1$ を $- (9 t^{2}) - 1 (- 8)$ で因数分解します。

$\frac{70 (- (9 t^{2} - 8))}{{(3 t^{2} + 8)}^{3}}$

ステップ 19.7

$- (9 t^{2} - 8)$ を $- 1 (9 t^{2} - 8)$ に書き換えます。

$\frac{70 (- 1 (9 t^{2} - 8))}{{(3 t^{2} + 8)}^{3}}$

ステップ 19.8

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{70 (9 t^{2} - 8)}{{(3 t^{2} + 8)}^{3}}$

微分積分 例

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