微分積分例

$f (x) = {\begin{cases} 4 e^{x - 2} + a x - 3 a & x < 2 \\ x^{3} + a x^{2} + 5 & x \geq 2 \end{cases}$

ステップ 1

$x$ が $2$ に左から近づくときの $4 e^{x - 2} + a x - 3 a$ 極限を求めます。

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ステップ 1.1

両側極限を左側極限に変えます。

$lim_{x \to 2^{-}} 4 e^{x - 2} + a x - 3 a$

ステップ 1.2

$x$ が $2$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$lim_{x \to 2^{-}} 4 e^{x - 2} + lim_{x \to 2^{-}} a x - lim_{x \to 2^{-}} 3 a$

ステップ 1.3

$4$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$4 lim_{x \to 2^{-}} e^{x - 2} + lim_{x \to 2^{-}} a x - lim_{x \to 2^{-}} 3 a$

ステップ 1.4

指数に極限を移動させます。

$4 e^{lim_{x \to 2^{-}} x - 2} + lim_{x \to 2^{-}} a x - lim_{x \to 2^{-}} 3 a$

ステップ 1.5

$x$ が $2$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$4 e^{lim_{x \to 2^{-}} x - lim_{x \to 2^{-}} 2} + lim_{x \to 2^{-}} a x - lim_{x \to 2^{-}} 3 a$

ステップ 1.6

$x$ が $2$ に近づくと定数である $2$ の極限値を求めます。

$4 e^{lim_{x \to 2^{-}} x - 1 \cdot 2} + lim_{x \to 2^{-}} a x - lim_{x \to 2^{-}} 3 a$

ステップ 1.7

$a$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$4 e^{lim_{x \to 2^{-}} x - 1 \cdot 2} + a lim_{x \to 2^{-}} x - lim_{x \to 2^{-}} 3 a$

ステップ 1.8

$x$ が $2$ に近づくと定数である $3 a$ の極限値を求めます。

$4 e^{lim_{x \to 2^{-}} x - 1 \cdot 2} + a lim_{x \to 2^{-}} x - 3 a$

ステップ 1.9

すべての $x$ に $2$ に代入し、極限値を求めます。

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ステップ 1.9.1

$x$ を $2$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$4 e^{2 - 1 \cdot 2} + a lim_{x \to 2^{-}} x - 3 a$

ステップ 1.9.2

$x$ を $2$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$4 e^{2 - 1 \cdot 2} + a \cdot 2 - 3 a$

ステップ 1.10

答えを簡約します。

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ステップ 1.10.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.10.1.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$4 e^{2 - 2} + a \cdot 2 - 3 a$

ステップ 1.10.1.2

$2$ から $2$ を引きます。

$4 e^{0} + a \cdot 2 - 3 a$

ステップ 1.10.1.3

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$4 \cdot 1 + a \cdot 2 - 3 a$

ステップ 1.10.1.4

$4$ に $1$ をかけます。

$4 + a \cdot 2 - 3 a$

ステップ 1.10.1.5

$2$ を $a$ の左に移動させます。

$4 + 2 a - 3 a$

ステップ 1.10.2

$2 a$ から $3 a$ を引きます。

$4 - a$

ステップ 2

$2$ における $x^{3} + a x^{2} + 5$ を求めます。

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ステップ 2.1

式の変数 $x$ を $2$ で置換えます。

${(2)}^{3} + a {(2)}^{2} + 5$

ステップ 2.2

値を求めます。

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ステップ 2.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.2.1.1

$2$ を $3$ 乗します。

$8 + a {(2)}^{2} + 5$

ステップ 2.2.1.2

$2$ を $2$ 乗します。

$8 + a \cdot 4 + 5$

ステップ 2.2.1.3

$4$ を $a$ の左に移動させます。

$8 + 4 a + 5$

ステップ 2.2.2

$8$ と $5$ をたし算します。

$4 a + 13$

ステップ 3

$x$ が $2$ に左から近づくときの $4 e^{x - 2} + a x - 3 a$ の極限が、 $x = 2$ における関数の値に等しくないので、関数は $x = 2$ において連続ではありません。

連続ではない

ステップ 4

微分積分 例

微分積分例