微分積分例

$y = \frac{\ln (x)}{e^{x}}$

ステップ 1

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = e^{x}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{e^{x} \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{{(e^{x})}^{2}}$

ステップ 2

${(e^{x})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{e^{x} \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{x \cdot 2}}$

ステップ 2.2

$2$ を $x$ の左に移動させます。

$\frac{e^{x} \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

ステップ 3

$x$ に関する $\ln (x)$ の微分係数は $\frac{1}{x}$ です。

$\frac{e^{x} \frac{1}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

ステップ 4

$e^{x}$ と $\frac{1}{x}$ をまとめます。

$\frac{\frac{e^{x}}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

ステップ 5

$\frac{\frac{e^{x}}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$ に $\frac{x}{x}$ をかけます。

$\frac{x}{x} \cdot \frac{\frac{e^{x}}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

ステップ 6

項を簡約します。

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ステップ 6.1

まとめる。

$\frac{x (\frac{e^{x}}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{x}])}{x e^{2 x}}$

ステップ 6.2

分配則を当てはめます。

$\frac{x \frac{e^{x}}{x} + x (- \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{x}])}{x e^{2 x}}$

ステップ 6.3

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{x \frac{e^{x}}{x} + x (- \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{x}])}{x e^{2 x}}$

ステップ 6.3.2

式を書き換えます。

$\frac{e^{x} + x (- \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{x}])}{x e^{2 x}}$

ステップ 7

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$\frac{e^{x} + x (- \ln (x) e^{x})}{x e^{2 x}}$

ステップ 8

簡約します。

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ステップ 8.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{e^{x} - x e^{x} \ln (x)}{x e^{2 x}}$

ステップ 8.2

項を並べ替えます。

$\frac{- e^{x} x \ln (x) + e^{x}}{e^{2 x} x}$

ステップ 8.3

$e^{x}$ を $- e^{x} x \ln (x) + e^{x}$ で因数分解します。

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ステップ 8.3.1

$e^{x}$ を $- e^{x} x \ln (x)$ で因数分解します。

$\frac{e^{x} (- x \ln (x)) + e^{x}}{e^{2 x} x}$

ステップ 8.3.2

$1$ を掛けます。

$\frac{e^{x} (- x \ln (x)) + e^{x} \cdot 1}{e^{2 x} x}$

ステップ 8.3.3

$e^{x}$ を $e^{x} (- x \ln (x)) + e^{x} \cdot 1$ で因数分解します。

$\frac{e^{x} (- x \ln (x) + 1)}{e^{2 x} x}$

ステップ 8.4

$e^{x}$ と $e^{2 x}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 8.4.1

$e^{2 x}$ を $e^{x} (- x \ln (x) + 1)$ で因数分解します。

$\frac{e^{2 x} (e^{- x} (- x \ln (x) + 1))}{e^{2 x} x}$

ステップ 8.4.2

共通因数を約分します。

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ステップ 8.4.2.1

$e^{2 x}$ を $e^{2 x} x$ で因数分解します。

$\frac{e^{2 x} (e^{- x} (- x \ln (x) + 1))}{e^{2 x} (x)}$

ステップ 8.4.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{e^{2 x} (e^{- x} (- x \ln (x) + 1))}{e^{2 x} x}$

ステップ 8.4.2.3

式を書き換えます。

$\frac{e^{- x} (- x \ln (x) + 1)}{x}$

ステップ 8.5

$- 1$ を $- x \ln (x)$ で因数分解します。

$\frac{e^{- x} (- (x \ln (x)) + 1)}{x}$

ステップ 8.6

$1$ を $- 1 (- 1)$ に書き換えます。

$\frac{e^{- x} (- (x \ln (x)) - 1 (- 1))}{x}$

ステップ 8.7

$- 1$ を $- (x \ln (x)) - 1 (- 1)$ で因数分解します。

$\frac{e^{- x} (- (x \ln (x) - 1))}{x}$

ステップ 8.8

$- (x \ln (x) - 1)$ を $- 1 (x \ln (x) - 1)$ に書き換えます。

$\frac{e^{- x} (- 1 (x \ln (x) - 1))}{x}$

ステップ 8.9

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{e^{- x} (x \ln (x) - 1)}{x}$

微分積分 例

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