微分積分例

$π \int_{0}^{6} {(- x + 6)}^{2} d x$

ステップ 1

$u = - x + 6$ とします。次に $d u = - d x$ すると、 $- d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 1.1

$u = - x + 6$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 1.1.1

$- x + 6$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [- x + 6]$

ステップ 1.1.2

総和則では、 $- x + 6$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [6]$ です。

$\frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [6]$

ステップ 1.1.3

$\frac{d}{d x} [- x]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.3.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$- \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]$

ステップ 1.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [6]$

ステップ 1.1.3.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- 1 + \frac{d}{d x} [6]$

ステップ 1.1.4

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 1.1.4.1

$6$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $6$ の微分係数は $0$ です。

$- 1 + 0$

ステップ 1.1.4.2

$- 1$ と $0$ をたし算します。

$- 1$

ステップ 1.2

$u = - x + 6$ の $x$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = - 0 + 6$

ステップ 1.3

簡約します。

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ステップ 1.3.1

$- 1$ に $0$ をかけます。

$u_{lower} = 0 + 6$

ステップ 1.3.2

$0$ と $6$ をたし算します。

$u_{lower} = 6$

ステップ 1.4

$u = - x + 6$ の $x$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = - 1 \cdot 6 + 6$

ステップ 1.5

簡約します。

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ステップ 1.5.1

$- 1$ に $6$ をかけます。

$u_{upper} = - 6 + 6$

ステップ 1.5.2

$- 6$ と $6$ をたし算します。

$u_{upper} = 0$

ステップ 1.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = 6$

$u_{upper} = 0$

ステップ 1.7

$u$ 、 $d u$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$π \int_{6}^{0} - u^{2} d u$

ステップ 2

$- 1$ は $u$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$π (- \int_{6}^{0} u^{2} d u)$

ステップ 3

べき乗則では、 $u^{2}$ の $u$ に関する積分は $\frac{1}{3} u^{3}$ です。

$π (- (\frac{1}{3} u^{3}]_{6}^{0}))$

ステップ 4

$\frac{1}{3}$ と $u^{3}$ をまとめます。

$π (- (\frac{u^{3}}{3}]_{6}^{0}))$

ステップ 5

代入し簡約します。

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ステップ 5.1

$0$ および $6$ で $\frac{u^{3}}{3}$ の値を求めます。

$π (- ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{6^{3}}{3}))$

ステップ 5.2

簡約します。

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ステップ 5.2.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$π (- (\frac{0}{3} - \frac{6^{3}}{3}))$

ステップ 5.2.2

$0$ と $3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.2.1

$3$ を $0$ で因数分解します。

$π (- (\frac{3 (0)}{3} - \frac{6^{3}}{3}))$

ステップ 5.2.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.2.2.1

$3$ を $3$ で因数分解します。

$π (- (\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{6^{3}}{3}))$

ステップ 5.2.2.2.2

共通因数を約分します。

$π (- (\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{6^{3}}{3}))$

ステップ 5.2.2.2.3

式を書き換えます。

$π (- (\frac{0}{1} - \frac{6^{3}}{3}))$

ステップ 5.2.2.2.4

$0$ を $1$ で割ります。

$π (- (0 - \frac{6^{3}}{3}))$

ステップ 5.2.3

$6$ を $3$ 乗します。

$π (- (0 - \frac{216}{3}))$

ステップ 5.2.4

$216$ と $3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.4.1

$3$ を $216$ で因数分解します。

$π (- (0 - \frac{3 \cdot 72}{3}))$

ステップ 5.2.4.2

共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.4.2.1

$3$ を $3$ で因数分解します。

$π (- (0 - \frac{3 \cdot 72}{3 (1)}))$

ステップ 5.2.4.2.2

共通因数を約分します。

$π (- (0 - \frac{3 \cdot 72}{3 \cdot 1}))$

ステップ 5.2.4.2.3

式を書き換えます。

$π (- (0 - \frac{72}{1}))$

ステップ 5.2.4.2.4

$72$ を $1$ で割ります。

$π (- (0 - 1 \cdot 72))$

ステップ 5.2.5

$- 1$ に $72$ をかけます。

$π (- (0 - 72))$

ステップ 5.2.6

$0$ から $72$ を引きます。

$π (- - 72)$

ステップ 5.2.7

$- 1$ に $- 72$ をかけます。

$π \cdot 72$

ステップ 5.2.8

$72$ を $π$ の左に移動させます。

$72 π$

ステップ 6

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$72 π$

10進法形式：

$226.19467105 \dots$

ステップ 7

微分積分 例

微分積分例