微分積分例

$\int (- 3 \csc^{2} (x) + 4 \csc (2 x) \cot (2 x)) d x$

ステップ 1

括弧を削除します。

$\int - 3 \csc^{2} (x) + 4 \csc (2 x) \cot (2 x) d x$

ステップ 2

単一積分を複数積分に分割します。

$\int - 3 \csc^{2} (x) d x + \int 4 \csc (2 x) \cot (2 x) d x$

ステップ 3

$- 3$ は $x$ に対して定数なので、 $- 3$ を積分の外に移動させます。

$- 3 \int \csc^{2} (x) d x + \int 4 \csc (2 x) \cot (2 x) d x$

ステップ 4

$- \cot (x)$ の微分係数が $\csc^{2} (x)$ なので、 $\csc^{2} (x)$ の積分は $- \cot (x)$ です。

$- 3 (- \cot (x) + C) + \int 4 \csc (2 x) \cot (2 x) d x$

ステップ 5

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $4$ を積分の外に移動させます。

$- 3 (- \cot (x) + C) + 4 \int \csc (2 x) \cot (2 x) d x$

ステップ 6

$u_{2} = \csc (2 x)$ とします。次に $d u_{2} = - 2 \cot (2 x) \csc (2 x) d x$ すると、 $- \frac{1}{2} d u_{2} = \cot (2 x) \csc (2 x) d x$ です。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 6.1

$u_{2} = \csc (2 x)$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d x}$ を求めます。

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ステップ 6.1.1

$\csc (2 x)$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [\csc (2 x)]$

ステップ 6.1.2

$f (x) = \csc (x)$ および $g (x) = 2 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 6.1.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $2 x$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [\csc (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 6.1.2.2

$u_{1}$ に関する $\csc (u_{1})$ の微分係数は $- \csc (u_{1}) \cot (u_{1})$ です。

$- \csc (u_{1}) \cot (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 6.1.2.3

$u_{1}$ のすべての発生を $2 x$ で置き換えます。

$- \csc (2 x) \cot (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 6.1.3

微分します。

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ステップ 6.1.3.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$- \csc (2 x) \cot (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 6.1.3.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$- 2 \csc (2 x) \cot (2 x) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 6.1.3.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 2 \csc (2 x) \cot (2 x) \cdot 1$

ステップ 6.1.3.4

式を簡約します。

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ステップ 6.1.3.4.1

$- 2$ に $1$ をかけます。

$- 2 \csc (2 x) \cot (2 x)$

ステップ 6.1.3.4.2

$- 2 \csc (2 x) \cot (2 x)$ の因数を並べ替えます。

$- 2 \cot (2 x) \csc (2 x)$

ステップ 6.2

$u_{2}$ と $d u_{2}$ を利用して問題を書き換えます。

$- 3 (- \cot (x) + C) + 4 \int \frac{1}{- 2} d u_{2}$

ステップ 7

分数の前に負数を移動させます。

$- 3 (- \cot (x) + C) + 4 \int - \frac{1}{2} d u_{2}$

ステップ 8

定数の法則を当てはめます。

$- 3 (- \cot (x) + C) + 4 (- \frac{1}{2} u_{2} + C)$

ステップ 9

簡約します。

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ステップ 9.1

簡約します。

$3 \cot (x) + 4 (- \frac{1}{2} u_{2}) + C$

ステップ 9.2

簡約します。

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ステップ 9.2.1

$u_{2}$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$3 \cot (x) + 4 (- \frac{u_{2}}{2}) + C$

ステップ 9.2.2

$- 1$ に $4$ をかけます。

$3 \cot (x) - 4 \frac{u_{2}}{2} + C$

ステップ 9.2.3

$- 4$ と $\frac{u_{2}}{2}$ をまとめます。

$3 \cot (x) + \frac{- 4 u_{2}}{2} + C$

ステップ 9.2.4

$- 4$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 9.2.4.1

$2$ を $- 4 u_{2}$ で因数分解します。

$3 \cot (x) + \frac{2 (- 2 u_{2})}{2} + C$

ステップ 9.2.4.2

共通因数を約分します。

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ステップ 9.2.4.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$3 \cot (x) + \frac{2 (- 2 u_{2})}{2 (1)} + C$

ステップ 9.2.4.2.2

共通因数を約分します。

$3 \cot (x) + \frac{2 (- 2 u_{2})}{2 \cdot 1} + C$

ステップ 9.2.4.2.3

式を書き換えます。

$3 \cot (x) + \frac{- 2 u_{2}}{1} + C$

ステップ 9.2.4.2.4

$- 2 u_{2}$ を $1$ で割ります。

$3 \cot (x) - 2 u_{2} + C$

ステップ 10

$u_{2}$ のすべての発生を $\csc (2 x)$ で置き換えます。

$3 \cot (x) - 2 \csc (2 x) + C$

微分積分 例

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