微分積分例

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} x \sec^{2} (x) d x$

ステップ 1

$u = x$ と $d v = \sec^{2} (x)$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$x \tan (x)]_{0}^{\frac{π}{4}} - \int_{0}^{\frac{π}{4}} \tan (x) d x$

ステップ 2

$\tan (x)$ の $x$ に関する積分は $\ln (| \sec (x) |)$ です。

$x \tan (x)]_{0}^{\frac{π}{4}} - (\ln (| \sec (x) |)]_{0}^{\frac{π}{4}})$

ステップ 3

答えを簡約します。

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ステップ 3.1

代入し簡約します。

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ステップ 3.1.1

$\frac{π}{4}$ および $0$ で $x \tan (x)$ の値を求めます。

$(\frac{π}{4} \tan (\frac{π}{4})) + 0 \tan (0) - (\ln (| \sec (x) |)]_{0}^{\frac{π}{4}})$

ステップ 3.1.2

$\frac{π}{4}$ および $0$ で $\ln (| \sec (x) |)$ の値を求めます。

$(\frac{π}{4} \tan (\frac{π}{4})) + 0 \tan (0) - ((\ln (| \sec (\frac{π}{4}) |)) - \ln (| \sec (0) |))$

ステップ 3.1.3

簡約します。

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ステップ 3.1.3.1

$\frac{π}{4}$ と $\tan (\frac{π}{4})$ をまとめます。

$\frac{π \tan (\frac{π}{4})}{4} + 0 \tan (0) - ((\ln (| \sec (\frac{π}{4}) |)) - \ln (| \sec (0) |))$

ステップ 3.1.3.2

$0$ に $\tan (0)$ をかけます。

$\frac{π \tan (\frac{π}{4})}{4} + 0 - ((\ln (| \sec (\frac{π}{4}) |)) - \ln (| \sec (0) |))$

ステップ 3.1.3.3

$\frac{π \tan (\frac{π}{4})}{4}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{π \tan (\frac{π}{4})}{4} - ((\ln (| \sec (\frac{π}{4}) |)) - \ln (| \sec (0) |))$

ステップ 3.1.3.4

$- (\ln (| \sec (\frac{π}{4}) |) - \ln (| \sec (0) |))$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$\frac{π \tan (\frac{π}{4})}{4} - (\ln (| \sec (\frac{π}{4}) |) - \ln (| \sec (0) |)) \cdot \frac{4}{4}$

ステップ 3.1.3.5

$- (\ln (| \sec (\frac{π}{4}) |) - \ln (| \sec (0) |))$ と $\frac{4}{4}$ をまとめます。

$\frac{π \tan (\frac{π}{4})}{4} + \frac{- (\ln (| \sec (\frac{π}{4}) |) - \ln (| \sec (0) |)) \cdot 4}{4}$

ステップ 3.1.3.6

公分母の分子をまとめます。

$\frac{π \tan (\frac{π}{4}) - (\ln (| \sec (\frac{π}{4}) |) - \ln (| \sec (0) |)) \cdot 4}{4}$

ステップ 3.1.3.7

$4$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{π \tan (\frac{π}{4}) - 4 (\ln (| \sec (\frac{π}{4}) |) - \ln (| \sec (0) |))}{4}$

ステップ 3.2

簡約します。

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ステップ 3.2.1

$\tan (\frac{π}{4})$ の厳密値は $1$ です。

$\frac{π \cdot 1 - 4 (\ln (| \sec (\frac{π}{4}) |) - \ln (| \sec (0) |))}{4}$

ステップ 3.2.2

$\sec (\frac{π}{4})$ の厳密値は $\frac{2}{\sqrt{2}}$ です。

$\frac{π \cdot 1 - 4 (\ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} |) - \ln (| \sec (0) |))}{4}$

ステップ 3.2.3

$\sec (0)$ の厳密値は $1$ です。

$\frac{π \cdot 1 - 4 (\ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} |) - \ln (| 1 |))}{4}$

ステップ 3.2.4

$π$ に $1$ をかけます。

$\frac{π - 4 (\ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} |) - \ln (| 1 |))}{4}$

ステップ 3.2.5

対数の商の性質を使います、 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ です。

$\frac{π - 4 \ln (\frac{| \frac{2}{\sqrt{2}} |}{| 1 |})}{4}$

ステップ 3.3

簡約します。

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ステップ 3.3.1

分子を簡約します。

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ステップ 3.3.1.1

$\frac{2}{\sqrt{2}}$ に $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ をかけます。

$\frac{π - 4 \ln (\frac{| \frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} |}{| 1 |})}{4}$

ステップ 3.3.1.2

分母を組み合わせて簡約します。

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ステップ 3.3.1.2.1

$\frac{2}{\sqrt{2}}$ に $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ をかけます。

$\frac{π - 4 \ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}} |}{| 1 |})}{4}$

ステップ 3.3.1.2.2

$\sqrt{2}$ を $1$ 乗します。

$\frac{π - 4 \ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}} |}{| 1 |})}{4}$

ステップ 3.3.1.2.3

$\sqrt{2}$ を $1$ 乗します。

$\frac{π - 4 \ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}} |}{| 1 |})}{4}$

ステップ 3.3.1.2.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{π - 4 \ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}} |}{| 1 |})}{4}$

ステップ 3.3.1.2.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{π - 4 \ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}} |}{| 1 |})}{4}$

ステップ 3.3.1.2.6

${\sqrt{2}}^{2}$ を $2$ に書き換えます。

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ステップ 3.3.1.2.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2}$ を $2^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{π - 4 \ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}} |}{| 1 |})}{4}$

ステップ 3.3.1.2.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{π - 4 \ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}} |}{| 1 |})}{4}$

ステップ 3.3.1.2.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{π - 4 \ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} |}{| 1 |})}{4}$

ステップ 3.3.1.2.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.3.1.2.6.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{π - 4 \ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} |}{| 1 |})}{4}$

ステップ 3.3.1.2.6.4.2

式を書き換えます。

$\frac{π - 4 \ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{2^{1}} |}{| 1 |})}{4}$

ステップ 3.3.1.2.6.5

指数を求めます。

$\frac{π - 4 \ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{2} |}{| 1 |})}{4}$

ステップ 3.3.1.3

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.3.1.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{π - 4 \ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{2} |}{| 1 |})}{4}$

ステップ 3.3.1.3.2

$\sqrt{2}$ を $1$ で割ります。

$\frac{π - 4 \ln (\frac{| \sqrt{2} |}{| 1 |})}{4}$

ステップ 3.3.1.4

$\sqrt{2}$ は約 $1.41421356$ 。正の数なので絶対値を削除します

$\frac{π - 4 \ln (\frac{\sqrt{2}}{| 1 |})}{4}$

ステップ 3.3.2

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{π - 4 \ln (\frac{\sqrt{2}}{1})}{4}$

ステップ 3.3.3

$\sqrt{2}$ を $1$ で割ります。

$\frac{π - 4 \ln (\sqrt{2})}{4}$

ステップ 4

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{π - 4 \ln (\sqrt{2})}{4}$

10進法形式：

$0.43882457 \dots$

微分積分 例

微分積分例