微分積分例

$y = \tanh^{2} ({(3 x + 2)}^{2})$

ステップ 1

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = \tanh ({(3 x + 2)}^{2})$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $\tanh ({(3 x + 2)}^{2})$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\tanh ({(3 x + 2)}^{2})]$

ステップ 1.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ は $n {u_{1}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 u_{1} \frac{d}{d x} [\tanh ({(3 x + 2)}^{2})]$

ステップ 1.3

$u_{1}$ のすべての発生を $\tanh ({(3 x + 2)}^{2})$ で置き換えます。

$2 \tanh ({(3 x + 2)}^{2}) \frac{d}{d x} [\tanh ({(3 x + 2)}^{2})]$

ステップ 2

$f (x) = \tanh (x)$ および $g (x) = {(3 x + 2)}^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を ${(3 x + 2)}^{2}$ とします。

$2 \tanh ({(3 x + 2)}^{2}) (\frac{d}{d u_{2}} [\tanh (u_{2})] \frac{d}{d x} [{(3 x + 2)}^{2}])$

ステップ 2.2

$u_{2}$ に関する $\tanh (u_{2})$ の微分係数は ${sech}^{2} (u_{2})$ です。

$2 \tanh ({(3 x + 2)}^{2}) ({sech}^{2} (u_{2}) \frac{d}{d x} [{(3 x + 2)}^{2}])$

ステップ 2.3

$u_{2}$ のすべての発生を ${(3 x + 2)}^{2}$ で置き換えます。

$2 \tanh ({(3 x + 2)}^{2}) ({sech}^{2} ({(3 x + 2)}^{2}) \frac{d}{d x} [{(3 x + 2)}^{2}])$

ステップ 3

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = 3 x + 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{3}$ を $3 x + 2$ とします。

$2 \tanh ({(3 x + 2)}^{2}) ({sech}^{2} ({(3 x + 2)}^{2}) (\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{2}] \frac{d}{d x} [3 x + 2]))$

ステップ 3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{n}]$ は $n {u_{3}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \tanh ({(3 x + 2)}^{2}) ({sech}^{2} ({(3 x + 2)}^{2}) (2 u_{3} \frac{d}{d x} [3 x + 2]))$

ステップ 3.3

$u_{3}$ のすべての発生を $3 x + 2$ で置き換えます。

$2 \tanh ({(3 x + 2)}^{2}) ({sech}^{2} ({(3 x + 2)}^{2}) (2 (3 x + 2) \frac{d}{d x} [3 x + 2]))$

ステップ 4

微分します。

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ステップ 4.1

$2$ に $2$ をかけます。

$4 \tanh ({(3 x + 2)}^{2}) ({sech}^{2} ({(3 x + 2)}^{2}) ((3 x + 2) \frac{d}{d x} [3 x + 2]))$

ステップ 4.2

総和則では、 $3 x + 2$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2]$ です。

$4 \tanh ({(3 x + 2)}^{2}) ({sech}^{2} ({(3 x + 2)}^{2}) ((3 x + 2) (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2])))$

ステップ 4.3

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$4 \tanh ({(3 x + 2)}^{2}) ({sech}^{2} ({(3 x + 2)}^{2}) ((3 x + 2) (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])))$

ステップ 4.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 \tanh ({(3 x + 2)}^{2}) ({sech}^{2} ({(3 x + 2)}^{2}) ((3 x + 2) (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2])))$

ステップ 4.5

$3$ に $1$ をかけます。

$4 \tanh ({(3 x + 2)}^{2}) ({sech}^{2} ({(3 x + 2)}^{2}) ((3 x + 2) (3 + \frac{d}{d x} [2])))$

ステップ 4.6

$2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $2$ の微分係数は $0$ です。

$4 \tanh ({(3 x + 2)}^{2}) ({sech}^{2} ({(3 x + 2)}^{2}) ((3 x + 2) (3 + 0)))$

ステップ 4.7

式を簡約します。

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ステップ 4.7.1

$3$ と $0$ をたし算します。

$4 \tanh ({(3 x + 2)}^{2}) ({sech}^{2} ({(3 x + 2)}^{2}) ((3 x + 2) \cdot 3))$

ステップ 4.7.2

$3$ を $3 x + 2$ の左に移動させます。

$4 \tanh ({(3 x + 2)}^{2}) ({sech}^{2} ({(3 x + 2)}^{2}) (3 \cdot (3 x + 2)))$

ステップ 4.7.3

$3$ に $4$ をかけます。

$12 \tanh ({(3 x + 2)}^{2}) ({sech}^{2} ({(3 x + 2)}^{2}) (3 x + 2))$

ステップ 4.7.4

$12 \tanh ({(3 x + 2)}^{2}) ({sech}^{2} ({(3 x + 2)}^{2}) (3 x + 2))$ の因数を並べ替えます。

$12 {sech}^{2} ({(3 x + 2)}^{2}) \tanh ({(3 x + 2)}^{2}) (3 x + 2)$

微分積分 例

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