微分積分例

$\int \frac{2 x - x \sqrt{x}}{\sqrt{x}} d x$

ステップ 1

簡約します。

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ステップ 1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\int \frac{2 x - x \cdot x^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{x}} d x$

ステップ 1.2

指数を足して $x$ に $x^{\frac{1}{2}}$ を掛けます。

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ステップ 1.2.1

$x^{\frac{1}{2}}$ を移動させます。

$\int \frac{2 x - (x^{\frac{1}{2}} x)}{\sqrt{x}} d x$

ステップ 1.2.2

$x^{\frac{1}{2}}$ に $x$ をかけます。

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ステップ 1.2.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\int \frac{2 x - (x^{\frac{1}{2}} x^{1})}{\sqrt{x}} d x$

ステップ 1.2.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int \frac{2 x - x^{\frac{1}{2} + 1}}{\sqrt{x}} d x$

ステップ 1.2.3

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\int \frac{2 x - x^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}{\sqrt{x}} d x$

ステップ 1.2.4

公分母の分子をまとめます。

$\int \frac{2 x - x^{\frac{1 + 2}{2}}}{\sqrt{x}} d x$

ステップ 1.2.5

$1$ と $2$ をたし算します。

$\int \frac{2 x - x^{\frac{3}{2}}}{\sqrt{x}} d x$

ステップ 2

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\int \frac{2 x - x^{\frac{3}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

ステップ 3

簡約します。

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ステップ 3.1

$x$ を $2 x - x^{\frac{3}{2}}$ で因数分解します。

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ステップ 3.1.1

$x$ を $2 x$ で因数分解します。

$\int \frac{x \cdot 2 - x^{\frac{3}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

ステップ 3.1.2

$x$ を $- x^{\frac{3}{2}}$ で因数分解します。

$\int \frac{x \cdot 2 + x (- x^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

ステップ 3.1.3

$x$ を $x \cdot 2 + x (- x^{\frac{1}{2}})$ で因数分解します。

$\int \frac{x (2 - x^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

ステップ 3.2

負の指数法則 $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ を利用して $x^{\frac{1}{2}}$ を分子に移動させます。

$\int x (2 - x^{\frac{1}{2}}) x^{- \frac{1}{2}} d x$

ステップ 3.3

指数を足して $x$ に $x^{- \frac{1}{2}}$ を掛けます。

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ステップ 3.3.1

$x^{- \frac{1}{2}}$ を移動させます。

$\int x^{- \frac{1}{2}} x (2 - x^{\frac{1}{2}}) d x$

ステップ 3.3.2

$x^{- \frac{1}{2}}$ に $x$ をかけます。

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ステップ 3.3.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\int x^{- \frac{1}{2}} x^{1} (2 - x^{\frac{1}{2}}) d x$

ステップ 3.3.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int x^{- \frac{1}{2} + 1} (2 - x^{\frac{1}{2}}) d x$

ステップ 3.3.3

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\int x^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}} (2 - x^{\frac{1}{2}}) d x$

ステップ 3.3.4

公分母の分子をまとめます。

$\int x^{\frac{- 1 + 2}{2}} (2 - x^{\frac{1}{2}}) d x$

ステップ 3.3.5

$- 1$ と $2$ をたし算します。

$\int x^{\frac{1}{2}} (2 - x^{\frac{1}{2}}) d x$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

分配則を当てはめます。

$\int x^{\frac{1}{2}} \cdot 2 + x^{\frac{1}{2}} (- x^{\frac{1}{2}}) d x$

ステップ 4.2

$x^{\frac{1}{2}}$ と $2$ を並べ替えます。

$\int 2 \cdot x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} (- x^{\frac{1}{2}}) d x$

ステップ 4.3

$x^{\frac{1}{2}}$ と $- 1$ を並べ替えます。

$\int 2 \cdot x^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} d x$

ステップ 4.4

負をくくり出します。

$\int 2 x^{\frac{1}{2}} - (x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) d x$

ステップ 4.5

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int 2 x^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} d x$

ステップ 4.6

公分母の分子をまとめます。

$\int 2 x^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{1 + 1}{2}} d x$

ステップ 4.7

$1$ と $1$ をたし算します。

$\int 2 x^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{2}{2}} d x$

ステップ 4.8

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.8.1

共通因数を約分します。

$\int 2 x^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{2}{2}} d x$

ステップ 4.8.2

式を書き換えます。

$\int 2 x^{\frac{1}{2}} - x^{1} d x$

ステップ 4.9

簡約します。

$\int 2 x^{\frac{1}{2}} - x d x$

ステップ 4.10

$2 x^{\frac{1}{2}}$ と $- x$ を並べ替えます。

$\int - x + 2 x^{\frac{1}{2}} d x$

ステップ 5

単一積分を複数積分に分割します。

$\int - x d x + \int 2 x^{\frac{1}{2}} d x$

ステップ 6

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$- \int x d x + \int 2 x^{\frac{1}{2}} d x$

ステップ 7

べき乗則では、 $x$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{2} x^{2}$ です。

$- (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int 2 x^{\frac{1}{2}} d x$

ステップ 8

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$- (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 2 \int x^{\frac{1}{2}} d x$

ステップ 9

べき乗則では、 $x^{\frac{1}{2}}$ の $x$ に関する積分は $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ です。

$- (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 2 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C)$

ステップ 10

簡約します。

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ステップ 10.1

簡約します。

$- \frac{1}{2} x^{2} + 2 (\frac{2}{3}) x^{\frac{3}{2}} + C$

ステップ 10.2

簡約します。

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ステップ 10.2.1

$2$ と $\frac{2}{3}$ をまとめます。

$- \frac{1}{2} x^{2} + \frac{2 \cdot 2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$

ステップ 10.2.2

$2$ に $2$ をかけます。

$- \frac{1}{2} x^{2} + \frac{4}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$

微分積分 例

微分積分例