微分積分例

$y = \cot^{2} (1 - \sin (x))$

ステップ 1

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = \cot (1 - \sin (x))$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $\cot (1 - \sin (x))$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\cot (1 - \sin (x))]$

ステップ 1.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ は $n {u_{1}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 u_{1} \frac{d}{d x} [\cot (1 - \sin (x))]$

ステップ 1.3

$u_{1}$ のすべての発生を $\cot (1 - \sin (x))$ で置き換えます。

$2 \cot (1 - \sin (x)) \frac{d}{d x} [\cot (1 - \sin (x))]$

ステップ 2

$f (x) = \cot (x)$ および $g (x) = 1 - \sin (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $1 - \sin (x)$ とします。

$2 \cot (1 - \sin (x)) (\frac{d}{d u_{2}} [\cot (u_{2})] \frac{d}{d x} [1 - \sin (x)])$

ステップ 2.2

$u_{2}$ に関する $\cot (u_{2})$ の微分係数は $- \csc^{2} (u_{2})$ です。

$2 \cot (1 - \sin (x)) (- \csc^{2} (u_{2}) \frac{d}{d x} [1 - \sin (x)])$

ステップ 2.3

$u_{2}$ のすべての発生を $1 - \sin (x)$ で置き換えます。

$2 \cot (1 - \sin (x)) (- \csc^{2} (1 - \sin (x)) \frac{d}{d x} [1 - \sin (x)])$

ステップ 3

微分します。

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ステップ 3.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$- 2 \cot (1 - \sin (x)) (\csc^{2} (1 - \sin (x)) \frac{d}{d x} [1 - \sin (x)])$

ステップ 3.2

総和則では、 $1 - \sin (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ です。

$- 2 \cot (1 - \sin (x)) \csc^{2} (1 - \sin (x)) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)])$

ステップ 3.3

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$- 2 \cot (1 - \sin (x)) \csc^{2} (1 - \sin (x)) (0 + \frac{d}{d x} [- \sin (x)])$

ステップ 3.4

$0$ と $\frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ をたし算します。

$- 2 \cot (1 - \sin (x)) \csc^{2} (1 - \sin (x)) \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$

ステップ 3.5

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \sin (x)$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ です。

$- 2 \cot (1 - \sin (x)) \csc^{2} (1 - \sin (x)) (- \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

ステップ 3.6

$- 1$ に $- 2$ をかけます。

$2 \cot (1 - \sin (x)) \csc^{2} (1 - \sin (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

ステップ 4

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$2 \cot (1 - \sin (x)) \csc^{2} (1 - \sin (x)) \cos (x)$

ステップ 5

簡約します。

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ステップ 5.1

$2 \cot (1 - \sin (x)) \csc^{2} (1 - \sin (x)) \cos (x)$ の因数を並べ替えます。

$2 \csc^{2} (1 - \sin (x)) \cos (x) \cot (1 - \sin (x))$

ステップ 5.2

正弦と余弦に関して $\csc (1 - \sin (x))$ を書き換えます。

$2 {(\frac{1}{\sin (1 - \sin (x))})}^{2} \cos (x) \cot (1 - \sin (x))$

ステップ 5.3

積の法則を $\frac{1}{\sin (1 - \sin (x))}$ に当てはめます。

$2 \frac{1^{2}}{\sin^{2} (1 - \sin (x))} \cos (x) \cot (1 - \sin (x))$

ステップ 5.4

1のすべての数の累乗は1です。

$2 \frac{1}{\sin^{2} (1 - \sin (x))} \cos (x) \cot (1 - \sin (x))$

ステップ 5.5

$2$ と $\frac{1}{\sin^{2} (1 - \sin (x))}$ をまとめます。

$\frac{2}{\sin^{2} (1 - \sin (x))} \cos (x) \cot (1 - \sin (x))$

ステップ 5.6

$\frac{2}{\sin^{2} (1 - \sin (x))}$ と $\cos (x)$ をまとめます。

$\frac{2 \cos (x)}{\sin^{2} (1 - \sin (x))} \cot (1 - \sin (x))$

ステップ 5.7

正弦と余弦に関して $\cot (1 - \sin (x))$ を書き換えます。

$\frac{2 \cos (x)}{\sin^{2} (1 - \sin (x))} \cdot \frac{\cos (1 - \sin (x))}{\sin (1 - \sin (x))}$

ステップ 5.8

まとめる。

$\frac{2 \cos (x) \cos (1 - \sin (x))}{\sin^{2} (1 - \sin (x)) \sin (1 - \sin (x))}$

ステップ 5.9

指数を足して $\sin^{2} (1 - \sin (x))$ に $\sin (1 - \sin (x))$ を掛けます。

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ステップ 5.9.1

$\sin^{2} (1 - \sin (x))$ に $\sin (1 - \sin (x))$ をかけます。

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ステップ 5.9.1.1

$\sin (1 - \sin (x))$ を $1$ 乗します。

$\frac{2 \cos (x) \cos (1 - \sin (x))}{\sin^{2} (1 - \sin (x)) \sin^{1} (1 - \sin (x))}$

ステップ 5.9.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{2 \cos (x) \cos (1 - \sin (x))}{{\sin (1 - \sin (x))}^{2 + 1}}$

ステップ 5.9.2

$2$ と $1$ をたし算します。

$\frac{2 \cos (x) \cos (1 - \sin (x))}{\sin^{3} (1 - \sin (x))}$

ステップ 5.10

$\sin (1 - \sin (x))$ を $\sin^{3} (1 - \sin (x))$ で因数分解します。

$\frac{2 \cos (x) \cos (1 - \sin (x))}{\sin (1 - \sin (x)) \sin^{2} (1 - \sin (x))}$

ステップ 5.11

分数を分解します。

$\frac{2 \cos (1 - \sin (x))}{\sin^{2} (1 - \sin (x))} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (1 - \sin (x))}$

ステップ 5.12

$\frac{\cos (x)}{\sin (1 - \sin (x))}$ を積として書き換えます。

$\frac{2 \cos (1 - \sin (x))}{\sin^{2} (1 - \sin (x))} (\cos (x) \frac{1}{\sin (1 - \sin (x))})$

ステップ 5.13

$\cos (x)$ を分母 $1$ をもつ分数で書きます。

$\frac{2 \cos (1 - \sin (x))}{\sin^{2} (1 - \sin (x))} (\frac{\cos (x)}{1} \cdot \frac{1}{\sin (1 - \sin (x))})$

ステップ 5.14

簡約します。

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ステップ 5.14.1

$\cos (x)$ を $1$ で割ります。

$\frac{2 \cos (1 - \sin (x))}{\sin^{2} (1 - \sin (x))} (\cos (x) \frac{1}{\sin (1 - \sin (x))})$

ステップ 5.14.2

$\frac{1}{\sin (1 - \sin (x))}$ を $\csc (1 - \sin (x))$ に変換します。

$\frac{2 \cos (1 - \sin (x))}{\sin^{2} (1 - \sin (x))} (\cos (x) \csc (1 - \sin (x)))$

ステップ 5.15

$\sin (1 - \sin (x))$ を $\sin^{2} (1 - \sin (x))$ で因数分解します。

$\frac{2 \cos (1 - \sin (x))}{\sin (1 - \sin (x)) \sin (1 - \sin (x))} (\cos (x) \csc (1 - \sin (x)))$

ステップ 5.16

分数を分解します。

$\frac{2}{\sin (1 - \sin (x))} \cdot \frac{\cos (1 - \sin (x))}{\sin (1 - \sin (x))} (\cos (x) \csc (1 - \sin (x)))$

ステップ 5.17

$\frac{\cos (1 - \sin (x))}{\sin (1 - \sin (x))}$ を $\cot (1 - \sin (x))$ に変換します。

$\frac{2}{\sin (1 - \sin (x))} \cot (1 - \sin (x)) (\cos (x) \csc (1 - \sin (x)))$

ステップ 5.18

分数を分解します。

$\frac{2}{1} \cdot \frac{1}{\sin (1 - \sin (x))} \cot (1 - \sin (x)) (\cos (x) \csc (1 - \sin (x)))$

ステップ 5.19

$\frac{1}{\sin (1 - \sin (x))}$ を $\csc (1 - \sin (x))$ に変換します。

$\frac{2}{1} \csc (1 - \sin (x)) \cot (1 - \sin (x)) (\cos (x) \csc (1 - \sin (x)))$

ステップ 5.20

$2$ を $1$ で割ります。

$2 \csc (1 - \sin (x)) \cot (1 - \sin (x)) (\cos (x) \csc (1 - \sin (x)))$

ステップ 5.21

$2 \csc (1 - \sin (x)) \cot (1 - \sin (x)) (\cos (x) \csc (1 - \sin (x)))$ を掛けます。

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ステップ 5.21.1

$\csc (1 - \sin (x))$ を $1$ 乗します。

$2 (\csc^{1} (1 - \sin (x)) \csc (1 - \sin (x))) \cot (1 - \sin (x)) \cos (x)$

ステップ 5.21.2

$\csc (1 - \sin (x))$ を $1$ 乗します。

$2 (\csc^{1} (1 - \sin (x)) \csc^{1} (1 - \sin (x))) \cot (1 - \sin (x)) \cos (x)$

ステップ 5.21.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$2 {\csc (1 - \sin (x))}^{1 + 1} \cot (1 - \sin (x)) \cos (x)$

ステップ 5.21.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$2 \csc^{2} (1 - \sin (x)) \cot (1 - \sin (x)) \cos (x)$

微分積分 例

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