微分積分例

$x y^{2} - y^{3} = x^{2} - 5$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (x y^{2} - y^{3}) = \frac{d}{d x} (x^{2} - 5)$

ステップ 2

方程式の左辺を微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

総和則では、 $x y^{2} - y^{3}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x y^{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$ です。

$\frac{d}{d x} [x y^{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [x y^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$f (x) = x$ および $g (x) = y^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$x \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

ステップ 2.2.2

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.2.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $y$ とします。

$x (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

ステップ 2.2.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ は $n {u_{1}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x (2 u_{1} \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

ステップ 2.2.2.3

$u_{1}$ のすべての発生を $y$ で置き換えます。

$x (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

ステップ 2.2.3

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$x (2 y y') + y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

ステップ 2.2.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x (2 y y') + y^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

ステップ 2.2.5

$2$ を $x$ の左に移動させます。

$2 \cdot x y y' + y^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

ステップ 2.2.6

$y^{2}$ に $1$ をかけます。

$2 x y y' + y^{2} + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [- y^{3}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.3.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- y^{3}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [y^{3}]$ です。

$2 x y y' + y^{2} - \frac{d}{d x} [y^{3}]$

ステップ 2.3.2

$f (x) = x^{3}$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $y$ とします。

$2 x y y' + y^{2} - (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{3}] \frac{d}{d x} [y])$

ステップ 2.3.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ は $n {u_{2}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 x y y' + y^{2} - (3 {u_{2}}^{2} \frac{d}{d x} [y])$

ステップ 2.3.2.3

$u_{2}$ のすべての発生を $y$ で置き換えます。

$2 x y y' + y^{2} - (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y])$

ステップ 2.3.3

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$2 x y y' + y^{2} - (3 y^{2} y')$

ステップ 2.3.4

$3$ に $- 1$ をかけます。

$2 x y y' + y^{2} - 3 y^{2} y'$

ステップ 2.4

項を並べ替えます。

$y^{2} + 2 x y y' - 3 y^{2} y'$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 3.1

総和則では、 $x^{2} - 5$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

ステップ 3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 x + \frac{d}{d x} [- 5]$

ステップ 3.3

$- 5$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 5$ の微分係数は $0$ です。

$2 x + 0$

ステップ 3.4

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$2 x$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$y^{2} + 2 x y y' - 3 y^{2} y' = 2 x$

ステップ 5

$y'$ について解きます。

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ステップ 5.1

方程式の両辺から $y^{2}$ を引きます。

$2 x y y' - 3 y^{2} y' = 2 x - y^{2}$

ステップ 5.2

$y y'$ を $2 x y y' - 3 y^{2} y'$ で因数分解します。

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ステップ 5.2.1

$y y'$ を $2 x y y'$ で因数分解します。

$y y' (2 x) - 3 y^{2} y' = 2 x - y^{2}$

ステップ 5.2.2

$y y'$ を $- 3 y^{2} y'$ で因数分解します。

$y y' (2 x) + y y' (- 3 y) = 2 x - y^{2}$

ステップ 5.2.3

$y y'$ を $y y' (2 x) + y y' (- 3 y)$ で因数分解します。

$y y' (2 x - 3 y) = 2 x - y^{2}$

ステップ 5.3

$y y' (2 x - 3 y) = 2 x - y^{2}$ の各項を $y (2 x - 3 y)$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.3.1

$y y' (2 x - 3 y) = 2 x - y^{2}$ の各項を $y (2 x - 3 y)$ で割ります。

$\frac{y y' (2 x - 3 y)}{y (2 x - 3 y)} = \frac{2 x}{y (2 x - 3 y)} + \frac{- y^{2}}{y (2 x - 3 y)}$

ステップ 5.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.3.2.1

$y$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{y y' (2 x - 3 y)}{y (2 x - 3 y)} = \frac{2 x}{y (2 x - 3 y)} + \frac{- y^{2}}{y (2 x - 3 y)}$

ステップ 5.3.2.1.2

式を書き換えます。

$\frac{y' (2 x - 3 y)}{2 x - 3 y} = \frac{2 x}{y (2 x - 3 y)} + \frac{- y^{2}}{y (2 x - 3 y)}$

ステップ 5.3.2.2

$2 x - 3 y$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{y' (2 x - 3 y)}{2 x - 3 y} = \frac{2 x}{y (2 x - 3 y)} + \frac{- y^{2}}{y (2 x - 3 y)}$

ステップ 5.3.2.2.2

$y'$ を $1$ で割ります。

$y' = \frac{2 x}{y (2 x - 3 y)} + \frac{- y^{2}}{y (2 x - 3 y)}$

ステップ 5.3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 5.3.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 5.3.3.1.1

$y^{2}$ と $y$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.3.1.1.1

$y$ を $- y^{2}$ で因数分解します。

$y' = \frac{2 x}{y (2 x - 3 y)} + \frac{y (- y)}{y (2 x - 3 y)}$

ステップ 5.3.3.1.1.2

共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.3.1.1.2.1

共通因数を約分します。

$y' = \frac{2 x}{y (2 x - 3 y)} + \frac{y (- y)}{y (2 x - 3 y)}$

ステップ 5.3.3.1.1.2.2

式を書き換えます。

$y' = \frac{2 x}{y (2 x - 3 y)} + \frac{- y}{2 x - 3 y}$

ステップ 5.3.3.1.2

分数の前に負数を移動させます。

$y' = \frac{2 x}{y (2 x - 3 y)} - \frac{y}{2 x - 3 y}$

ステップ 5.3.3.2

$- \frac{y}{2 x - 3 y}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{y}{y}$ を掛けます。

$y' = \frac{2 x}{y (2 x - 3 y)} - \frac{y}{2 x - 3 y} \cdot \frac{y}{y}$

ステップ 5.3.3.3

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $y (2 x - 3 y)$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 5.3.3.3.1

$\frac{y}{2 x - 3 y}$ に $\frac{y}{y}$ をかけます。

$y' = \frac{2 x}{y (2 x - 3 y)} - \frac{y \cdot y}{(2 x - 3 y) y}$

ステップ 5.3.3.3.2

$(2 x - 3 y) y$ の因数を並べ替えます。

$y' = \frac{2 x}{y (2 x - 3 y)} - \frac{y \cdot y}{y (2 x - 3 y)}$

ステップ 5.3.3.4

公分母の分子をまとめます。

$y' = \frac{2 x - y \cdot y}{y (2 x - 3 y)}$

ステップ 5.3.3.5

指数を足して $y$ に $y$ を掛けます。

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ステップ 5.3.3.5.1

$y$ を移動させます。

$y' = \frac{2 x - (y \cdot y)}{y (2 x - 3 y)}$

ステップ 5.3.3.5.2

$y$ に $y$ をかけます。

$y' = \frac{2 x - y^{2}}{y (2 x - 3 y)}$

ステップ 6

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x - y^{2}}{y (2 x - 3 y)}$

微分積分 例

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