微分積分例

$\sqrt{x e^{x}}$

ステップ 1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x e^{x}}$ を ${(x e^{x})}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [{(x e^{x})}^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 2

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ および $g (x) = x e^{x}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x e^{x}$ とします。

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x e^{x}]$

ステップ 2.2

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x e^{x}]$

ステップ 2.3

$u$ のすべての発生を $x e^{x}$ で置き換えます。

$\frac{1}{2} {(x e^{x})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x e^{x}]$

ステップ 3

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{1}{2} {(x e^{x})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x e^{x}]$

ステップ 4

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{2} {(x e^{x})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x e^{x}]$

ステップ 5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{2} {(x e^{x})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x e^{x}]$

ステップ 6

分子を簡約します。

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ステップ 6.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{2} {(x e^{x})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x e^{x}]$

ステップ 6.2

$1$ から $2$ を引きます。

$\frac{1}{2} {(x e^{x})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x e^{x}]$

ステップ 7

分数をまとめます。

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ステップ 7.1

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{2} {(x e^{x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x e^{x}]$

ステップ 7.2

$\frac{1}{2}$ と ${(x e^{x})}^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$\frac{{(x e^{x})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x e^{x}]$

ステップ 7.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(x e^{x})}^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$\frac{1}{2 {(x e^{x})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x e^{x}]$

ステップ 8

$f (x) = x$ および $g (x) = e^{x}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$\frac{1}{2 {(x e^{x})}^{\frac{1}{2}}} (x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 9

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$\frac{1}{2 {(x e^{x})}^{\frac{1}{2}}} (x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 10

べき乗則を使って微分します。

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ステップ 10.1

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{2 {(x e^{x})}^{\frac{1}{2}}} (x e^{x} + e^{x} \cdot 1)$

ステップ 10.2

$e^{x}$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{2 {(x e^{x})}^{\frac{1}{2}}} (x e^{x} + e^{x})$

ステップ 11

簡約します。

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ステップ 11.1

積の法則を $x e^{x}$ に当てはめます。

$\frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}} {(e^{x})}^{\frac{1}{2}})} (x e^{x} + e^{x})$

ステップ 11.2

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}} {(e^{x})}^{\frac{1}{2}})} (x e^{x}) + \frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}} {(e^{x})}^{\frac{1}{2}})} e^{x}$

ステップ 11.3

項をまとめます。

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ステップ 11.3.1

${(e^{x})}^{\frac{1}{2}}$ の指数を掛けます。

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ステップ 11.3.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}} e^{x \frac{1}{2}})} (x e^{x}) + \frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}} {(e^{x})}^{\frac{1}{2}})} e^{x}$

ステップ 11.3.1.2

$x$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}} e^{\frac{x}{2}})} (x e^{x}) + \frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}} {(e^{x})}^{\frac{1}{2}})} e^{x}$

ステップ 11.3.2

$x$ と $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}} e^{\frac{x}{2}}}$ をまとめます。

$\frac{x}{2 x^{\frac{1}{2}} e^{\frac{x}{2}}} e^{x} + \frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}} {(e^{x})}^{\frac{1}{2}})} e^{x}$

ステップ 11.3.3

$\frac{x}{2 x^{\frac{1}{2}} e^{\frac{x}{2}}}$ と $e^{x}$ をまとめます。

$\frac{x e^{x}}{2 x^{\frac{1}{2}} e^{\frac{x}{2}}} + \frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}} {(e^{x})}^{\frac{1}{2}})} e^{x}$

ステップ 11.3.4

負の指数法則 $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ を利用して $x^{\frac{1}{2}}$ を分子に移動させます。

$\frac{x e^{x} x^{- \frac{1}{2}}}{2 e^{\frac{x}{2}}} + \frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}} {(e^{x})}^{\frac{1}{2}})} e^{x}$

ステップ 11.3.5

指数を足して $x$ に $x^{- \frac{1}{2}}$ を掛けます。

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ステップ 11.3.5.1

$x^{- \frac{1}{2}}$ を移動させます。

$\frac{x^{- \frac{1}{2}} x e^{x}}{2 e^{\frac{x}{2}}} + \frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}} {(e^{x})}^{\frac{1}{2}})} e^{x}$

ステップ 11.3.5.2

$x^{- \frac{1}{2}}$ に $x$ をかけます。

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ステップ 11.3.5.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{x^{- \frac{1}{2}} x^{1} e^{x}}{2 e^{\frac{x}{2}}} + \frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}} {(e^{x})}^{\frac{1}{2}})} e^{x}$

ステップ 11.3.5.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{x^{- \frac{1}{2} + 1} e^{x}}{2 e^{\frac{x}{2}}} + \frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}} {(e^{x})}^{\frac{1}{2}})} e^{x}$

ステップ 11.3.5.3

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\frac{x^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}} e^{x}}{2 e^{\frac{x}{2}}} + \frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}} {(e^{x})}^{\frac{1}{2}})} e^{x}$

ステップ 11.3.5.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{x^{\frac{- 1 + 2}{2}} e^{x}}{2 e^{\frac{x}{2}}} + \frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}} {(e^{x})}^{\frac{1}{2}})} e^{x}$

ステップ 11.3.5.5

$- 1$ と $2$ をたし算します。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} e^{x}}{2 e^{\frac{x}{2}}} + \frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}} {(e^{x})}^{\frac{1}{2}})} e^{x}$

ステップ 11.3.6

$e^{\frac{x}{2}}$ を $x^{\frac{1}{2}} e^{x}$ で因数分解します。

$\frac{e^{\frac{x}{2}} (x^{\frac{1}{2}} e^{\frac{x \cdot 2 - x}{2}})}{2 e^{\frac{x}{2}}} + \frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}} {(e^{x})}^{\frac{1}{2}})} e^{x}$

ステップ 11.3.7

共通因数を約分します。

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ステップ 11.3.7.1

$e^{\frac{x}{2}}$ を $2 e^{\frac{x}{2}}$ で因数分解します。

$\frac{e^{\frac{x}{2}} (x^{\frac{1}{2}} e^{\frac{x \cdot 2 - x}{2}})}{e^{\frac{x}{2}} \cdot 2} + \frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}} {(e^{x})}^{\frac{1}{2}})} e^{x}$

ステップ 11.3.7.2

共通因数を約分します。

$\frac{e^{\frac{x}{2}} (x^{\frac{1}{2}} e^{\frac{x \cdot 2 - x}{2}})}{e^{\frac{x}{2}} \cdot 2} + \frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}} {(e^{x})}^{\frac{1}{2}})} e^{x}$

ステップ 11.3.7.3

式を書き換えます。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} e^{\frac{x \cdot 2 - x}{2}}}{2} + \frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}} {(e^{x})}^{\frac{1}{2}})} e^{x}$

ステップ 11.3.8

$2$ を $x$ の左に移動させます。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} e^{\frac{2 \cdot x - x}{2}}}{2} + \frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}} {(e^{x})}^{\frac{1}{2}})} e^{x}$

ステップ 11.3.9

$2 x$ から $x$ を引きます。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} e^{\frac{x}{2}}}{2} + \frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}} {(e^{x})}^{\frac{1}{2}})} e^{x}$

ステップ 11.3.10

${(e^{x})}^{\frac{1}{2}}$ の指数を掛けます。

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ステップ 11.3.10.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} e^{\frac{x}{2}}}{2} + \frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}} e^{x \frac{1}{2}})} e^{x}$

ステップ 11.3.10.2

$x$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} e^{\frac{x}{2}}}{2} + \frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}} e^{\frac{x}{2}})} e^{x}$

ステップ 11.3.11

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}} e^{\frac{x}{2}}}$ と $e^{x}$ をまとめます。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} e^{\frac{x}{2}}}{2} + \frac{e^{x}}{2 x^{\frac{1}{2}} e^{\frac{x}{2}}}$

ステップ 11.3.12

$e^{\frac{x}{2}}$ を $e^{x}$ で因数分解します。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} e^{\frac{x}{2}}}{2} + \frac{e^{\frac{x}{2}} e^{\frac{x \cdot 2 - x}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}} e^{\frac{x}{2}}}$

ステップ 11.3.13

共通因数を約分します。

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ステップ 11.3.13.1

$e^{\frac{x}{2}}$ を $2 x^{\frac{1}{2}} e^{\frac{x}{2}}$ で因数分解します。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} e^{\frac{x}{2}}}{2} + \frac{e^{\frac{x}{2}} e^{\frac{x \cdot 2 - x}{2}}}{e^{\frac{x}{2}} (2 x^{\frac{1}{2}})}$

ステップ 11.3.13.2

共通因数を約分します。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} e^{\frac{x}{2}}}{2} + \frac{e^{\frac{x}{2}} e^{\frac{x \cdot 2 - x}{2}}}{e^{\frac{x}{2}} (2 x^{\frac{1}{2}})}$

ステップ 11.3.13.3

式を書き換えます。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} e^{\frac{x}{2}}}{2} + \frac{e^{\frac{x \cdot 2 - x}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 11.3.14

$2$ を $x$ の左に移動させます。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} e^{\frac{x}{2}}}{2} + \frac{e^{\frac{2 \cdot x - x}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 11.3.15

$2 x$ から $x$ を引きます。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} e^{\frac{x}{2}}}{2} + \frac{e^{\frac{x}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

微分積分 例

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