微分積分例

$y = \sin^{2} (\sin (π x))$

ステップ 1

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = \sin (\sin (π x))$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $\sin (\sin (π x))$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (\sin (π x))]$

ステップ 1.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ は $n {u_{1}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 u_{1} \frac{d}{d x} [\sin (\sin (π x))]$

ステップ 1.3

$u_{1}$ のすべての発生を $\sin (\sin (π x))$ で置き換えます。

$2 \sin (\sin (π x)) \frac{d}{d x} [\sin (\sin (π x))]$

ステップ 2

$f (x) = \sin (x)$ および $g (x) = \sin (π x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $\sin (π x)$ とします。

$2 \sin (\sin (π x)) (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [\sin (π x)])$

ステップ 2.2

$u_{2}$ に関する $\sin (u_{2})$ の微分係数は $\cos (u_{2})$ です。

$2 \sin (\sin (π x)) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [\sin (π x)])$

ステップ 2.3

$u_{2}$ のすべての発生を $\sin (π x)$ で置き換えます。

$2 \sin (\sin (π x)) (\cos (\sin (π x)) \frac{d}{d x} [\sin (π x)])$

ステップ 3

$f (x) = \sin (x)$ および $g (x) = π x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{3}$ を $π x$ とします。

$2 \sin (\sin (π x)) \cos (\sin (π x)) (\frac{d}{d u_{3}} [\sin (u_{3})] \frac{d}{d x} [π x])$

ステップ 3.2

$u_{3}$ に関する $\sin (u_{3})$ の微分係数は $\cos (u_{3})$ です。

$2 \sin (\sin (π x)) \cos (\sin (π x)) (\cos (u_{3}) \frac{d}{d x} [π x])$

ステップ 3.3

$u_{3}$ のすべての発生を $π x$ で置き換えます。

$2 \sin (\sin (π x)) \cos (\sin (π x)) (\cos (π x) \frac{d}{d x} [π x])$

ステップ 4

微分します。

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ステップ 4.1

$π$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $π x$ の微分係数は $π \frac{d}{d x} [x]$ です。

$2 \sin (\sin (π x)) \cos (\sin (π x)) \cos (π x) (π \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 4.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \sin (\sin (π x)) \cos (\sin (π x)) \cos (π x) (π \cdot 1)$

ステップ 4.3

$π$ に $1$ をかけます。

$2 \sin (\sin (π x)) \cos (\sin (π x)) \cos (π x) π$

ステップ 5

簡約します。

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ステップ 5.1

$2 \sin (\sin (π x)) \cos (\sin (π x)) \cos (π x) π$ の因数を並べ替えます。

$2 π \cos (\sin (π x)) \cos (π x) \sin (\sin (π x))$

ステップ 5.2

$2 π \cos (\sin (π x)) \cos (π x)$ と $\sin (\sin (π x))$ を並べ替えます。

$\sin (\sin (π x)) (2 π \cos (\sin (π x)) \cos (π x))$

ステップ 5.3

括弧を移動させます。

$\sin (\sin (π x)) (2 π \cos (\sin (π x))) \cos (π x)$

ステップ 5.4

括弧を移動させます。

$\sin (\sin (π x)) (2 π) \cos (\sin (π x)) \cos (π x)$

ステップ 5.5

$\sin (\sin (π x)) (2 π)$ と $\cos (\sin (π x))$ を並べ替えます。

$\cos (\sin (π x)) (\sin (\sin (π x)) (2 π)) \cos (π x)$

ステップ 5.6

括弧を付けます。

$\cos (\sin (π x)) (\sin (\sin (π x)) \cdot 2) π \cos (π x)$

ステップ 5.7

$\cos (\sin (π x))$ と $\sin (\sin (π x)) \cdot 2$ を並べ替えます。

$\sin (\sin (π x)) \cdot 2 \cos (\sin (π x)) π \cos (π x)$

ステップ 5.8

$\sin (\sin (π x))$ と $2$ を並べ替えます。

$2 \cdot \sin (\sin (π x)) \cos (\sin (π x)) π \cos (π x)$

ステップ 5.9

正弦2倍角の公式を当てはめます。

$\sin (2 \sin (π x)) π \cos (π x)$

ステップ 5.10

$\sin (2 \sin (π x)) π \cos (π x)$ の因数を並べ替えます。

$π \sin (2 \sin (π x)) \cos (π x)$

微分積分 例

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