微分積分例

$y x^{y - 1}$

ステップ 1

$f (y) = y$ および $g (y) = x^{y - 1}$ のとき、 $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ は $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$y \frac{d}{d y} [x^{y - 1}] + x^{y - 1} \frac{d}{d y} [y]$

ステップ 2

$f = x$ および $g = y - 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [f^{g}]$ は $f^{g} (f' \frac{g}{f} + g' \ln (f))$ であるという一般化べき乗則を使って微分します。

$y (\frac{d}{d y} [x] ((y - 1) x^{y - 1 - 1}) + \frac{d}{d y} [y - 1] (x^{y - 1} \ln (x))) + x^{y - 1} \frac{d}{d y} [y]$

ステップ 3

微分します。

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ステップ 3.1

$- 1$ から $1$ を引きます。

$y (\frac{d}{d y} [x] ((y - 1) x^{y - 2}) + \frac{d}{d y} [y - 1] (x^{y - 1} \ln (x))) + x^{y - 1} \frac{d}{d y} [y]$

ステップ 3.2

$x$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $x$ の微分係数は $0$ です。

$y (0 ((y - 1) x^{y - 2}) + \frac{d}{d y} [y - 1] (x^{y - 1} \ln (x))) + x^{y - 1} \frac{d}{d y} [y]$

ステップ 3.3

式を簡約します。

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ステップ 3.3.1

$y - 1$ に $0$ をかけます。

$y (0 x^{y - 2} + \frac{d}{d y} [y - 1] (x^{y - 1} \ln (x))) + x^{y - 1} \frac{d}{d y} [y]$

ステップ 3.3.2

$0$ に $x^{y - 2}$ をかけます。

$y (0 + \frac{d}{d y} [y - 1] (x^{y - 1} \ln (x))) + x^{y - 1} \frac{d}{d y} [y]$

ステップ 3.3.3

$0$ と $\frac{d}{d y} [y - 1] (x^{y - 1} \ln (x))$ をたし算します。

$y (\frac{d}{d y} [y - 1] (x^{y - 1} \ln (x))) + x^{y - 1} \frac{d}{d y} [y]$

ステップ 3.4

総和則では、 $y - 1$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$ です。

$y ((\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]) (x^{y - 1} \ln (x))) + x^{y - 1} \frac{d}{d y} [y]$

ステップ 3.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$y ((1 + \frac{d}{d y} [- 1]) x^{y - 1} \ln (x)) + x^{y - 1} \frac{d}{d y} [y]$

ステップ 3.6

$- 1$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$y ((1 + 0) x^{y - 1} \ln (x)) + x^{y - 1} \frac{d}{d y} [y]$

ステップ 3.7

式を簡約します。

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ステップ 3.7.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$y (1 x^{y - 1} \ln (x)) + x^{y - 1} \frac{d}{d y} [y]$

ステップ 3.7.2

$x^{y - 1}$ に $1$ をかけます。

$y (x^{y - 1} \ln (x)) + x^{y - 1} \frac{d}{d y} [y]$

ステップ 3.8

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$y (x^{y - 1} \ln (x)) + x^{y - 1} \cdot 1$

ステップ 3.9

$x^{y - 1}$ に $1$ をかけます。

$y (x^{y - 1} \ln (x)) + x^{y - 1}$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

項を並べ替えます。

$x^{y - 1} y \ln (x) + x^{y - 1}$

ステップ 4.2

$x^{y - 1} y \ln (x) + x^{y - 1}$ の因数を並べ替えます。

$y x^{y - 1} \ln (x) + x^{y - 1}$

微分積分 例

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