微分積分例

$y = 4 \arcsin (\frac{x}{2})$

ステップ 1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 \arcsin (\frac{x}{2})$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [\arcsin (\frac{x}{2})]$ です。

$4 \frac{d}{d x} [\arcsin (\frac{x}{2})]$

ステップ 2

$f (x) = \arcsin (x)$ および $g (x) = \frac{x}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\frac{x}{2}$ とします。

$4 (\frac{d}{d u} [\arcsin (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}])$

ステップ 2.2

$u$ に関する $\arcsin (u)$ の微分係数は $\frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}}$ です。

$4 (\frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}])$

ステップ 2.3

$u$ のすべての発生を $\frac{x}{2}$ で置き換えます。

$4 (\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{2})}^{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}])$

ステップ 3

微分します。

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ステップ 3.1

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{2})}^{2}}}$ と $4$ をまとめます。

$\frac{4}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{2})}^{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

ステップ 3.2

$\frac{1}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{x}{2}$ の微分係数は $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{4}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{2})}^{2}}} (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 3.3

項を簡約します。

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ステップ 3.3.1

$\frac{1}{2}$ に $\frac{4}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{2})}^{2}}}$ をかけます。

$\frac{4}{2 \sqrt{1 - {(\frac{x}{2})}^{2}}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 3.3.2

$4$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.3.2.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$\frac{2 \cdot 2}{2 \sqrt{1 - {(\frac{x}{2})}^{2}}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 3.3.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 3.3.2.2.1

$2$ を $2 \sqrt{1 - {(\frac{x}{2})}^{2}}$ で因数分解します。

$\frac{2 \cdot 2}{2 (\sqrt{1 - {(\frac{x}{2})}^{2}})} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 3.3.2.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 \cdot 2}{2 \sqrt{1 - {(\frac{x}{2})}^{2}}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 3.3.2.2.3

式を書き換えます。

$\frac{2}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{2})}^{2}}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{2}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{2})}^{2}}} \cdot 1$

ステップ 3.5

$\frac{2}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{2})}^{2}}}$ に $1$ をかけます。

$\frac{2}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{2})}^{2}}}$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

積の法則を $\frac{x}{2}$ に当てはめます。

$\frac{2}{\sqrt{1 - \frac{x^{2}}{2^{2}}}}$

ステップ 4.2

$2$ を $2$ 乗します。

$\frac{2}{\sqrt{1 - \frac{x^{2}}{4}}}$

微分積分 例

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