微分積分例

$\arcsin (\frac{x^{2}}{x^{2} - 1})$

ステップ 1

$f (x) = \arcsin (x)$ および $g (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} - 1}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\frac{x^{2}}{x^{2} - 1}$ とします。

$\frac{d}{d u} [\arcsin (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{x^{2} - 1}]$

ステップ 1.2

$u$ に関する $\arcsin (u)$ の微分係数は $\frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}}$ です。

$\frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{x^{2} - 1}]$

ステップ 1.3

$u$ のすべての発生を $\frac{x^{2}}{x^{2} - 1}$ で置き換えます。

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x^{2}}{x^{2} - 1})}^{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{x^{2} - 1}]$

ステップ 2

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = x^{2} - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x^{2}}{x^{2} - 1})}^{2}}} \cdot \frac{(x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

ステップ 3

微分します。

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ステップ 3.1

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x^{2}}{x^{2} - 1})}^{2}}} \cdot \frac{(x^{2} - 1) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

ステップ 3.2

$2$ を $x^{2} - 1$ の左に移動させます。

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x^{2}}{x^{2} - 1})}^{2}}} \cdot \frac{2 \cdot (x^{2} - 1) x - x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

ステップ 3.3

総和則では、 $x^{2} - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x^{2}}{x^{2} - 1})}^{2}}} \cdot \frac{2 (x^{2} - 1) x - x^{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

ステップ 3.4

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x^{2}}{x^{2} - 1})}^{2}}} \cdot \frac{2 (x^{2} - 1) x - x^{2} (2 x + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

ステップ 3.5

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x^{2}}{x^{2} - 1})}^{2}}} \cdot \frac{2 (x^{2} - 1) x - x^{2} (2 x + 0)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

ステップ 3.6

式を簡約します。

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ステップ 3.6.1

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x^{2}}{x^{2} - 1})}^{2}}} \cdot \frac{2 (x^{2} - 1) x - x^{2} (2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

ステップ 3.6.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x^{2}}{x^{2} - 1})}^{2}}} \cdot \frac{2 (x^{2} - 1) x - 2 x^{2} x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

ステップ 4

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x^{2}}{x^{2} - 1})}^{2}}} \cdot \frac{2 (x^{2} - 1) x - 2 (x^{1} x^{2})}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

ステップ 5

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x^{2}}{x^{2} - 1})}^{2}}} \cdot \frac{2 (x^{2} - 1) x - 2 x^{1 + 2}}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

ステップ 6

$1$ と $2$ をたし算します。

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x^{2}}{x^{2} - 1})}^{2}}} \cdot \frac{2 (x^{2} - 1) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

ステップ 7

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x^{2}}{x^{2} - 1})}^{2}}}$ に $\frac{2 (x^{2} - 1) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$ をかけます。

$\frac{2 (x^{2} - 1) x - 2 x^{3}}{\sqrt{1 - {(\frac{x^{2}}{x^{2} - 1})}^{2}} {(x^{2} - 1)}^{2}}$

ステップ 8

簡約します。

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ステップ 8.1

積の法則を $\frac{x^{2}}{x^{2} - 1}$ に当てはめます。

$\frac{2 (x^{2} - 1) x - 2 x^{3}}{\sqrt{1 - \frac{{(x^{2})}^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{2}}} {(x^{2} - 1)}^{2}}$

ステップ 8.2

分配則を当てはめます。

$\frac{(2 x^{2} + 2 \cdot - 1) x - 2 x^{3}}{\sqrt{1 - \frac{{(x^{2})}^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{2}}} {(x^{2} - 1)}^{2}}$

ステップ 8.3

分配則を当てはめます。

$\frac{2 x^{2} x + 2 \cdot - 1 x - 2 x^{3}}{\sqrt{1 - \frac{{(x^{2})}^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{2}}} {(x^{2} - 1)}^{2}}$

ステップ 8.4

分子を簡約します。

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ステップ 8.4.1

各項を簡約します。

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ステップ 8.4.1.1

指数を足して $x^{2}$ に $x$ を掛けます。

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ステップ 8.4.1.1.1

$x$ を移動させます。

$\frac{2 (x \cdot x^{2}) + 2 \cdot - 1 x - 2 x^{3}}{\sqrt{1 - \frac{{(x^{2})}^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{2}}} {(x^{2} - 1)}^{2}}$

ステップ 8.4.1.1.2

$x$ に $x^{2}$ をかけます。

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ステップ 8.4.1.1.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{2 (x^{1} x^{2}) + 2 \cdot - 1 x - 2 x^{3}}{\sqrt{1 - \frac{{(x^{2})}^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{2}}} {(x^{2} - 1)}^{2}}$

ステップ 8.4.1.1.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{2 x^{1 + 2} + 2 \cdot - 1 x - 2 x^{3}}{\sqrt{1 - \frac{{(x^{2})}^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{2}}} {(x^{2} - 1)}^{2}}$

ステップ 8.4.1.1.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$\frac{2 x^{3} + 2 \cdot - 1 x - 2 x^{3}}{\sqrt{1 - \frac{{(x^{2})}^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{2}}} {(x^{2} - 1)}^{2}}$

ステップ 8.4.1.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{2 x^{3} - 2 x - 2 x^{3}}{\sqrt{1 - \frac{{(x^{2})}^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{2}}} {(x^{2} - 1)}^{2}}$

ステップ 8.4.2

$2 x^{3} - 2 x - 2 x^{3}$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 8.4.2.1

$2 x^{3}$ から $2 x^{3}$ を引きます。

$\frac{- 2 x + 0}{\sqrt{1 - \frac{{(x^{2})}^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{2}}} {(x^{2} - 1)}^{2}}$

ステップ 8.4.2.2

$- 2 x$ と $0$ をたし算します。

$\frac{- 2 x}{\sqrt{1 - \frac{{(x^{2})}^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{2}}} {(x^{2} - 1)}^{2}}$

ステップ 8.5

項をまとめます。

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ステップ 8.5.1

${(x^{2})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 8.5.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{- 2 x}{\sqrt{1 - \frac{x^{2 \cdot 2}}{{(x^{2} - 1)}^{2}}} {(x^{2} - 1)}^{2}}$

ステップ 8.5.1.2

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{- 2 x}{\sqrt{1 - \frac{x^{4}}{{(x^{2} - 1)}^{2}}} {(x^{2} - 1)}^{2}}$

ステップ 8.5.2

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{2 x}{\sqrt{1 - \frac{x^{4}}{{(x^{2} - 1)}^{2}}} {(x^{2} - 1)}^{2}}$

ステップ 8.6

分母を簡約します。

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ステップ 8.6.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$- \frac{2 x}{\sqrt{1 - \frac{x^{4}}{{(x^{2} - 1^{2})}^{2}}} {(x^{2} - 1)}^{2}}$

ステップ 8.6.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 1$ です。

$- \frac{2 x}{\sqrt{1 - \frac{x^{4}}{{((x + 1) (x - 1))}^{2}}} {(x^{2} - 1)}^{2}}$

ステップ 8.6.3

積の法則を $(x + 1) (x - 1)$ に当てはめます。

$- \frac{2 x}{\sqrt{1 - \frac{x^{4}}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}} {(x^{2} - 1)}^{2}}$

ステップ 8.7

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.7.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$- \frac{2 x}{\sqrt{1 - \frac{x^{4}}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}} {(x^{2} - 1^{2})}^{2}}$

ステップ 8.7.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 1$ です。

$- \frac{2 x}{\sqrt{1 - \frac{x^{4}}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}} {((x + 1) (x - 1))}^{2}}$

ステップ 8.7.3

積の法則を $(x + 1) (x - 1)$ に当てはめます。

$- \frac{2 x}{\sqrt{1 - \frac{x^{4}}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}} {(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

ステップ 8.7.4

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$- \frac{2 x}{\sqrt{\frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}} - \frac{x^{4}}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}} {(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

ステップ 8.7.5

公分母の分子をまとめます。

$- \frac{2 x}{\sqrt{\frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x^{4}}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}} {(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

ステップ 8.7.6

項を並べ替えます。

$- \frac{2 x}{\sqrt{\frac{- x^{4} + {(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}} {(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

ステップ 8.7.7

因数分解した形で $\frac{- x^{4} + {(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$ を書き換えます。

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ステップ 8.7.7.1

${(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}$ を ${((x + 1) (x - 1))}^{2}$ に書き換えます。

$- \frac{2 x}{\sqrt{\frac{- x^{4} + {((x + 1) (x - 1))}^{2}}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}} {(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

ステップ 8.7.7.2

$x^{4}$ を ${(x^{2})}^{2}$ に書き換えます。

$- \frac{2 x}{\sqrt{\frac{- {(x^{2})}^{2} + {((x + 1) (x - 1))}^{2}}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}} {(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

ステップ 8.7.7.3

$- {(x^{2})}^{2}$ と ${((x + 1) (x - 1))}^{2}$ を並べ替えます。

$- \frac{2 x}{\sqrt{\frac{{((x + 1) (x - 1))}^{2} - {(x^{2})}^{2}}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}} {(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

ステップ 8.7.7.4

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = (x + 1) (x - 1)$ であり、 $b = x^{2}$ です。

$- \frac{2 x}{\sqrt{\frac{((x + 1) (x - 1) + x^{2}) ((x + 1) (x - 1) - x^{2})}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}} {(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

ステップ 8.7.7.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.7.7.5.1

分配法則（FOIL法）を使って $(x + 1) (x - 1)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.7.7.5.1.1

分配則を当てはめます。

$- \frac{2 x}{\sqrt{\frac{(x (x - 1) + 1 (x - 1) + x^{2}) ((x + 1) (x - 1) - x^{2})}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}} {(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

ステップ 8.7.7.5.1.2

分配則を当てはめます。

$- \frac{2 x}{\sqrt{\frac{(x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1) + x^{2}) ((x + 1) (x - 1) - x^{2})}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}} {(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

ステップ 8.7.7.5.1.3

分配則を当てはめます。

$- \frac{2 x}{\sqrt{\frac{(x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 + x^{2}) ((x + 1) (x - 1) - x^{2})}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}} {(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

ステップ 8.7.7.5.2

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.7.7.5.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.7.7.5.2.1.1

$x$ に $x$ をかけます。

$- \frac{2 x}{\sqrt{\frac{(x^{2} + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 + x^{2}) ((x + 1) (x - 1) - x^{2})}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}} {(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

ステップ 8.7.7.5.2.1.2

$- 1$ を $x$ の左に移動させます。

$- \frac{2 x}{\sqrt{\frac{(x^{2} - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1 + x^{2}) ((x + 1) (x - 1) - x^{2})}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}} {(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

ステップ 8.7.7.5.2.1.3

$- 1 x$ を $- x$ に書き換えます。

$- \frac{2 x}{\sqrt{\frac{(x^{2} - x + 1 x + 1 \cdot - 1 + x^{2}) ((x + 1) (x - 1) - x^{2})}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}} {(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

ステップ 8.7.7.5.2.1.4

$x$ に $1$ をかけます。

$- \frac{2 x}{\sqrt{\frac{(x^{2} - x + x + 1 \cdot - 1 + x^{2}) ((x + 1) (x - 1) - x^{2})}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}} {(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

ステップ 8.7.7.5.2.1.5

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- \frac{2 x}{\sqrt{\frac{(x^{2} - x + x - 1 + x^{2}) ((x + 1) (x - 1) - x^{2})}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}} {(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

ステップ 8.7.7.5.2.2

$- x$ と $x$ をたし算します。

$- \frac{2 x}{\sqrt{\frac{(x^{2} + 0 - 1 + x^{2}) ((x + 1) (x - 1) - x^{2})}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}} {(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

ステップ 8.7.7.5.2.3

$x^{2}$ と $0$ をたし算します。

$- \frac{2 x}{\sqrt{\frac{(x^{2} - 1 + x^{2}) ((x + 1) (x - 1) - x^{2})}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}} {(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

ステップ 8.7.7.5.3

$x^{2}$ と $x^{2}$ をたし算します。

$- \frac{2 x}{\sqrt{\frac{(2 x^{2} - 1) ((x + 1) (x - 1) - x^{2})}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}} {(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

ステップ 8.7.7.5.4

分配法則（FOIL法）を使って $(x + 1) (x - 1)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.7.7.5.4.1

分配則を当てはめます。

$- \frac{2 x}{\sqrt{\frac{(2 x^{2} - 1) (x (x - 1) + 1 (x - 1) - x^{2})}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}} {(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

ステップ 8.7.7.5.4.2

分配則を当てはめます。

$- \frac{2 x}{\sqrt{\frac{(2 x^{2} - 1) (x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1) - x^{2})}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}} {(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

ステップ 8.7.7.5.4.3

分配則を当てはめます。

$- \frac{2 x}{\sqrt{\frac{(2 x^{2} - 1) (x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 - x^{2})}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}} {(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

ステップ 8.7.7.5.5

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.7.7.5.5.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.7.7.5.5.1.1

$x$ に $x$ をかけます。

$- \frac{2 x}{\sqrt{\frac{(2 x^{2} - 1) (x^{2} + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 - x^{2})}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}} {(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

ステップ 8.7.7.5.5.1.2

$- 1$ を $x$ の左に移動させます。

$- \frac{2 x}{\sqrt{\frac{(2 x^{2} - 1) (x^{2} - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1 - x^{2})}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}} {(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

ステップ 8.7.7.5.5.1.3

$- 1 x$ を $- x$ に書き換えます。

$- \frac{2 x}{\sqrt{\frac{(2 x^{2} - 1) (x^{2} - x + 1 x + 1 \cdot - 1 - x^{2})}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}} {(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

ステップ 8.7.7.5.5.1.4

$x$ に $1$ をかけます。

$- \frac{2 x}{\sqrt{\frac{(2 x^{2} - 1) (x^{2} - x + x + 1 \cdot - 1 - x^{2})}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}} {(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

ステップ 8.7.7.5.5.1.5

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- \frac{2 x}{\sqrt{\frac{(2 x^{2} - 1) (x^{2} - x + x - 1 - x^{2})}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}} {(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

ステップ 8.7.7.5.5.2

$- x$ と $x$ をたし算します。

$- \frac{2 x}{\sqrt{\frac{(2 x^{2} - 1) (x^{2} + 0 - 1 - x^{2})}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}} {(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

ステップ 8.7.7.5.5.3

$x^{2}$ と $0$ をたし算します。

$- \frac{2 x}{\sqrt{\frac{(2 x^{2} - 1) (x^{2} - 1 - x^{2})}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}} {(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

ステップ 8.7.7.5.6

$x^{2}$ から $x^{2}$ を引きます。

$- \frac{2 x}{\sqrt{\frac{(2 x^{2} - 1) (0 - 1)}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}} {(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

ステップ 8.7.7.5.7

$0$ から $1$ を引きます。

$- \frac{2 x}{\sqrt{\frac{(2 x^{2} - 1) \cdot - 1}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}} {(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

ステップ 8.7.8

$- 1$ を $2 x^{2} - 1$ の左に移動させます。

$- \frac{2 x}{\sqrt{\frac{- 1 \cdot (2 x^{2} - 1)}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}} {(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

ステップ 8.7.9

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{2 x}{\sqrt{- \frac{2 x^{2} - 1}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}} {(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

ステップ 8.7.10

$- \frac{2 x^{2} - 1}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$ を ${(\frac{1^{2}}{(x + 1) (x - 1)})}^{2} \cdot (- (2 x^{2} - 1))$ に書き換えます。

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ステップ 8.7.10.1

$2 x^{2} - 1$ から完全累乗 $1^{2}$ を因数分解します。

$- \frac{2 x}{\sqrt{- \frac{1^{2} (2 x^{2} - 1)}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}} {(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

ステップ 8.7.10.2

${(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}$ から完全累乗 ${((x + 1) (x - 1))}^{2}$ を因数分解します。

$- \frac{2 x}{\sqrt{- \frac{1^{2} (2 x^{2} - 1)}{{((x + 1) (x - 1))}^{2} \cdot 1}} {(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

ステップ 8.7.10.3

分数 $\frac{1^{2} (2 x^{2} - 1)}{{((x + 1) (x - 1))}^{2} \cdot 1}$ を並べ替えます。

$- \frac{2 x}{\sqrt{- ({(\frac{1}{(x + 1) (x - 1)})}^{2} (2 x^{2} - 1))} {(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

ステップ 8.7.10.4

$- 1$ と ${(\frac{1}{(x + 1) (x - 1)})}^{2}$ を並べ替えます。

$- \frac{2 x}{\sqrt{{(\frac{1}{(x + 1) (x - 1)})}^{2} \cdot - 1 (2 x^{2} - 1)} {(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

ステップ 8.7.10.5

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$- \frac{2 x}{\sqrt{{(\frac{1^{2}}{(x + 1) (x - 1)})}^{2} \cdot - 1 (2 x^{2} - 1)} {(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

ステップ 8.7.10.6

括弧を付けます。

$- \frac{2 x}{\sqrt{{(\frac{1^{2}}{(x + 1) (x - 1)})}^{2} \cdot (- (2 x^{2} - 1))} {(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

ステップ 8.7.11

累乗根の下から項を取り出します。

$- \frac{2 x}{\frac{1^{2}}{(x + 1) (x - 1)} \sqrt{- (2 x^{2} - 1)} {(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

ステップ 8.7.12

1のすべての数の累乗は1です。

$- \frac{2 x}{\frac{1}{(x + 1) (x - 1)} \sqrt{- (2 x^{2} - 1)} {(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

ステップ 8.7.13

$\frac{1}{(x + 1) (x - 1)}$ と $\sqrt{- (2 x^{2} - 1)}$ をまとめます。

$- \frac{2 x}{\frac{\sqrt{- (2 x^{2} - 1)}}{(x + 1) (x - 1)} {(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

ステップ 8.7.14

指数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.7.14.1

$\frac{\sqrt{- (2 x^{2} - 1)}}{(x + 1) (x - 1)}$ と ${(x + 1)}^{2}$ をまとめます。

$- \frac{2 x}{\frac{\sqrt{- (2 x^{2} - 1)} {(x + 1)}^{2}}{(x + 1) (x - 1)} {(x - 1)}^{2}}$

ステップ 8.7.14.2

$\frac{\sqrt{- (2 x^{2} - 1)} {(x + 1)}^{2}}{(x + 1) (x - 1)}$ と ${(x - 1)}^{2}$ をまとめます。

$- \frac{2 x}{\frac{\sqrt{- (2 x^{2} - 1)} {(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}{(x + 1) (x - 1)}}$

ステップ 8.7.15

今日数因数で約分することで式 $\frac{\sqrt{- (2 x^{2} - 1)} {(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}{(x + 1) (x - 1)}$ を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.7.15.1

$x + 1$ を $\sqrt{- (2 x^{2} - 1)} {(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}$ で因数分解します。

$- \frac{2 x}{\frac{(x + 1) (\sqrt{- (2 x^{2} - 1)} (x + 1) {(x - 1)}^{2})}{(x + 1) (x - 1)}}$

ステップ 8.7.15.2

共通因数を約分します。

$- \frac{2 x}{\frac{(x + 1) (\sqrt{- (2 x^{2} - 1)} (x + 1) {(x - 1)}^{2})}{(x + 1) (x - 1)}}$

ステップ 8.7.15.3

式を書き換えます。

$- \frac{2 x}{\frac{\sqrt{- (2 x^{2} - 1)} (x + 1) {(x - 1)}^{2}}{x - 1}}$

ステップ 8.7.16

${(x - 1)}^{2}$ と $x - 1$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.7.16.1

$x - 1$ を $\sqrt{- (2 x^{2} - 1)} (x + 1) {(x - 1)}^{2}$ で因数分解します。

$- \frac{2 x}{\frac{(x - 1) (\sqrt{- (2 x^{2} - 1)} (x + 1) (x - 1))}{x - 1}}$

ステップ 8.7.16.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.7.16.2.1

$1$ を掛けます。

$- \frac{2 x}{\frac{(x - 1) (\sqrt{- (2 x^{2} - 1)} (x + 1) (x - 1))}{(x - 1) \cdot 1}}$

ステップ 8.7.16.2.2

共通因数を約分します。

$- \frac{2 x}{\frac{(x - 1) (\sqrt{- (2 x^{2} - 1)} (x + 1) (x - 1))}{(x - 1) \cdot 1}}$

ステップ 8.7.16.2.3

式を書き換えます。

$- \frac{2 x}{\frac{\sqrt{- (2 x^{2} - 1)} (x + 1) (x - 1)}{1}}$

ステップ 8.7.16.2.4

$\sqrt{- (2 x^{2} - 1)} (x + 1) (x - 1)$ を $1$ で割ります。

$- \frac{2 x}{\sqrt{- (2 x^{2} - 1)} (x + 1) (x - 1)}$

ステップ 8.7.17

分配則を当てはめます。

$- \frac{2 x}{(\sqrt{- (2 x^{2} - 1)} x + \sqrt{- (2 x^{2} - 1)} \cdot 1) (x - 1)}$

ステップ 8.7.18

$\sqrt{- (2 x^{2} - 1)}$ に $1$ をかけます。

$- \frac{2 x}{(\sqrt{- (2 x^{2} - 1)} x + \sqrt{- (2 x^{2} - 1)}) (x - 1)}$

ステップ 8.7.19

分配法則（FOIL法）を使って $(\sqrt{- (2 x^{2} - 1)} x + \sqrt{- (2 x^{2} - 1)}) (x - 1)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.7.19.1

分配則を当てはめます。

$- \frac{2 x}{\sqrt{- (2 x^{2} - 1)} x (x - 1) + \sqrt{- (2 x^{2} - 1)} (x - 1)}$

ステップ 8.7.19.2

分配則を当てはめます。

$- \frac{2 x}{\sqrt{- (2 x^{2} - 1)} x \cdot x + \sqrt{- (2 x^{2} - 1)} x \cdot - 1 + \sqrt{- (2 x^{2} - 1)} (x - 1)}$

ステップ 8.7.19.3

分配則を当てはめます。

$- \frac{2 x}{\sqrt{- (2 x^{2} - 1)} x \cdot x + \sqrt{- (2 x^{2} - 1)} x \cdot - 1 + \sqrt{- (2 x^{2} - 1)} x + \sqrt{- (2 x^{2} - 1)} \cdot - 1}$

ステップ 8.7.20

$\sqrt{- (2 x^{2} - 1)} x \cdot x + \sqrt{- (2 x^{2} - 1)} x \cdot - 1 + \sqrt{- (2 x^{2} - 1)} x + \sqrt{- (2 x^{2} - 1)} \cdot - 1$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.7.20.1

$\sqrt{- (2 x^{2} - 1)} x \cdot - 1$ と $\sqrt{- (2 x^{2} - 1)} x$ について因数を並べ替えます。

$- \frac{2 x}{\sqrt{- (2 x^{2} - 1)} x \cdot x - x \sqrt{- (2 x^{2} - 1)} + x \sqrt{- (2 x^{2} - 1)} + \sqrt{- (2 x^{2} - 1)} \cdot - 1}$

ステップ 8.7.20.2

$- x \sqrt{- (2 x^{2} - 1)}$ と $x \sqrt{- (2 x^{2} - 1)}$ をたし算します。

$- \frac{2 x}{\sqrt{- (2 x^{2} - 1)} x \cdot x + 0 + \sqrt{- (2 x^{2} - 1)} \cdot - 1}$

ステップ 8.7.20.3

$\sqrt{- (2 x^{2} - 1)} x \cdot x$ と $0$ をたし算します。

$- \frac{2 x}{\sqrt{- (2 x^{2} - 1)} x \cdot x + \sqrt{- (2 x^{2} - 1)} \cdot - 1}$

ステップ 8.7.21

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.7.21.1

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.7.21.1.1

$x$ を移動させます。

$- \frac{2 x}{\sqrt{- (2 x^{2} - 1)} (x \cdot x) + \sqrt{- (2 x^{2} - 1)} \cdot - 1}$

ステップ 8.7.21.1.2

$x$ に $x$ をかけます。

$- \frac{2 x}{\sqrt{- (2 x^{2} - 1)} x^{2} + \sqrt{- (2 x^{2} - 1)} \cdot - 1}$

ステップ 8.7.21.2

$- 1$ を $\sqrt{- (2 x^{2} - 1)}$ の左に移動させます。

$- \frac{2 x}{\sqrt{- (2 x^{2} - 1)} x^{2} - 1 \cdot \sqrt{- (2 x^{2} - 1)}}$

ステップ 8.7.21.3

$- 1 \sqrt{- (2 x^{2} - 1)}$ を $- \sqrt{- (2 x^{2} - 1)}$ に書き換えます。

$- \frac{2 x}{\sqrt{- (2 x^{2} - 1)} x^{2} - \sqrt{- (2 x^{2} - 1)}}$

ステップ 8.7.22

$\sqrt{- (2 x^{2} - 1)}$ を $\sqrt{- (2 x^{2} - 1)} x^{2} - \sqrt{- (2 x^{2} - 1)}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.7.22.1

$\sqrt{- (2 x^{2} - 1)}$ を $\sqrt{- (2 x^{2} - 1)} x^{2}$ で因数分解します。

$- \frac{2 x}{\sqrt{- (2 x^{2} - 1)} (x^{2}) - \sqrt{- (2 x^{2} - 1)}}$

ステップ 8.7.22.2

$\sqrt{- (2 x^{2} - 1)}$ を $- \sqrt{- (2 x^{2} - 1)}$ で因数分解します。

$- \frac{2 x}{\sqrt{- (2 x^{2} - 1)} (x^{2}) + \sqrt{- (2 x^{2} - 1)} \cdot - 1}$

ステップ 8.7.22.3

$\sqrt{- (2 x^{2} - 1)}$ を $\sqrt{- (2 x^{2} - 1)} (x^{2}) + \sqrt{- (2 x^{2} - 1)} \cdot - 1$ で因数分解します。

$- \frac{2 x}{\sqrt{- (2 x^{2} - 1)} (x^{2} - 1)}$

ステップ 8.7.23

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$- \frac{2 x}{\sqrt{- (2 x^{2} - 1)} (x^{2} - 1^{2})}$

ステップ 8.7.24

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 1$ です。

$- \frac{2 x}{\sqrt{- (2 x^{2} - 1)} (x + 1) (x - 1)}$

ステップ 8.8

$\frac{2 x}{\sqrt{- (2 x^{2} - 1)} (x + 1) (x - 1)}$ に $\frac{\sqrt{- (2 x^{2} - 1)}}{\sqrt{- (2 x^{2} - 1)}}$ をかけます。

$- (\frac{2 x}{\sqrt{- (2 x^{2} - 1)} (x + 1) (x - 1)} \cdot \frac{\sqrt{- (2 x^{2} - 1)}}{\sqrt{- (2 x^{2} - 1)}})$

ステップ 8.9

分母を組み合わせて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.9.1

$\frac{2 x}{\sqrt{- (2 x^{2} - 1)} (x + 1) (x - 1)}$ に $\frac{\sqrt{- (2 x^{2} - 1)}}{\sqrt{- (2 x^{2} - 1)}}$ をかけます。

$- \frac{2 x \sqrt{- (2 x^{2} - 1)}}{\sqrt{- (2 x^{2} - 1)} (x + 1) (x - 1) \sqrt{- (2 x^{2} - 1)}}$

ステップ 8.9.2

$\sqrt{- (2 x^{2} - 1)}$ を移動させます。

$- \frac{2 x \sqrt{- (2 x^{2} - 1)}}{(x + 1) (x - 1) (\sqrt{- (2 x^{2} - 1)} \sqrt{- (2 x^{2} - 1)})}$

ステップ 8.9.3

$\sqrt{- (2 x^{2} - 1)}$ を $1$ 乗します。

$- \frac{2 x \sqrt{- (2 x^{2} - 1)}}{(x + 1) (x - 1) ({\sqrt{- (2 x^{2} - 1)}}^{1} \sqrt{- (2 x^{2} - 1)})}$

ステップ 8.9.4

$\sqrt{- (2 x^{2} - 1)}$ を $1$ 乗します。

$- \frac{2 x \sqrt{- (2 x^{2} - 1)}}{(x + 1) (x - 1) ({\sqrt{- (2 x^{2} - 1)}}^{1} {\sqrt{- (2 x^{2} - 1)}}^{1})}$

ステップ 8.9.5

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- \frac{2 x \sqrt{- (2 x^{2} - 1)}}{(x + 1) (x - 1) {\sqrt{- (2 x^{2} - 1)}}^{1 + 1}}$

ステップ 8.9.6

$1$ と $1$ をたし算します。

$- \frac{2 x \sqrt{- (2 x^{2} - 1)}}{(x + 1) (x - 1) {\sqrt{- (2 x^{2} - 1)}}^{2}}$

ステップ 8.9.7

${\sqrt{- (2 x^{2} - 1)}}^{2}$ を $- (2 x^{2} - 1)$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.9.7.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{- (2 x^{2} - 1)}$ を ${(- (2 x^{2} - 1))}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$- \frac{2 x \sqrt{- (2 x^{2} - 1)}}{(x + 1) (x - 1) {({(- (2 x^{2} - 1))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 8.9.7.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$- \frac{2 x \sqrt{- (2 x^{2} - 1)}}{(x + 1) (x - 1) {(- (2 x^{2} - 1))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 8.9.7.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$- \frac{2 x \sqrt{- (2 x^{2} - 1)}}{(x + 1) (x - 1) {(- (2 x^{2} - 1))}^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 8.9.7.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.9.7.4.1

共通因数を約分します。

$- \frac{2 x \sqrt{- (2 x^{2} - 1)}}{(x + 1) (x - 1) {(- (2 x^{2} - 1))}^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 8.9.7.4.2

式を書き換えます。

$- \frac{2 x \sqrt{- (2 x^{2} - 1)}}{(x + 1) (x - 1) {(- (2 x^{2} - 1))}^{1}}$

ステップ 8.9.7.5

簡約します。

$- \frac{2 x \sqrt{- (2 x^{2} - 1)}}{(x + 1) (x - 1) (- (2 x^{2} - 1))}$

ステップ 8.10

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.10.1

書き換えます。

$- \frac{2 x \sqrt{- (2 x^{2} - 1)}}{\sqrt{- (2 x^{2} - 1)} (x + 1) (x - 1) \sqrt{- (2 x^{2} - 1)}}$

ステップ 8.10.2

$\sqrt{- (2 x^{2} - 1)}$ を移動させます。

$- \frac{2 x \sqrt{- (2 x^{2} - 1)}}{(x + 1) (x - 1) (\sqrt{- (2 x^{2} - 1)} \sqrt{- (2 x^{2} - 1)})}$

ステップ 8.10.3

$\sqrt{- (2 x^{2} - 1)}$ を $1$ 乗します。

$- \frac{2 x \sqrt{- (2 x^{2} - 1)}}{(x + 1) (x - 1) ({\sqrt{- (2 x^{2} - 1)}}^{1} \sqrt{- (2 x^{2} - 1)})}$

ステップ 8.10.4

$\sqrt{- (2 x^{2} - 1)}$ を $1$ 乗します。

$- \frac{2 x \sqrt{- (2 x^{2} - 1)}}{(x + 1) (x - 1) ({\sqrt{- (2 x^{2} - 1)}}^{1} {\sqrt{- (2 x^{2} - 1)}}^{1})}$

ステップ 8.10.5

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- \frac{2 x \sqrt{- (2 x^{2} - 1)}}{(x + 1) (x - 1) {\sqrt{- (2 x^{2} - 1)}}^{1 + 1}}$

ステップ 8.10.6

$1$ と $1$ をたし算します。

$- \frac{2 x \sqrt{- (2 x^{2} - 1)}}{(x + 1) (x - 1) {\sqrt{- (2 x^{2} - 1)}}^{2}}$

ステップ 8.10.7

${\sqrt{- (2 x^{2} - 1)}}^{2}$ を $- (2 x^{2} - 1)$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.10.7.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{- (2 x^{2} - 1)}$ を ${(- (2 x^{2} - 1))}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$- \frac{2 x \sqrt{- (2 x^{2} - 1)}}{(x + 1) (x - 1) {({(- (2 x^{2} - 1))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 8.10.7.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$- \frac{2 x \sqrt{- (2 x^{2} - 1)}}{(x + 1) (x - 1) {(- (2 x^{2} - 1))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 8.10.7.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$- \frac{2 x \sqrt{- (2 x^{2} - 1)}}{(x + 1) (x - 1) {(- (2 x^{2} - 1))}^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 8.10.7.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.10.7.4.1

共通因数を約分します。

$- \frac{2 x \sqrt{- (2 x^{2} - 1)}}{(x + 1) (x - 1) {(- (2 x^{2} - 1))}^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 8.10.7.4.2

式を書き換えます。

$- \frac{2 x \sqrt{- (2 x^{2} - 1)}}{(x + 1) (x - 1) {(- (2 x^{2} - 1))}^{1}}$

ステップ 8.10.7.5

簡約します。

$- \frac{2 x \sqrt{- (2 x^{2} - 1)}}{(x + 1) (x - 1) (- (2 x^{2} - 1))}$

ステップ 8.10.8

不要な括弧を削除します。

$- \frac{2 x \sqrt{- (2 x^{2} - 1)}}{(x + 1) (x - 1) \cdot - 1 (2 x^{2} - 1)}$

ステップ 8.10.9

負をくくり出します。

$- \frac{2 x \sqrt{- (2 x^{2} - 1)}}{- (x + 1) (x - 1) (2 x^{2} - 1)}$

ステップ 8.11

分数の前に負数を移動させます。

$- - \frac{2 x \sqrt{- (2 x^{2} - 1)}}{((x + 1) (x - 1)) (2 x^{2} - 1)}$

ステップ 8.12

$- - \frac{2 x \sqrt{- (2 x^{2} - 1)}}{(x + 1) (x - 1) (2 x^{2} - 1)}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.12.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$1 \frac{2 x \sqrt{- (2 x^{2} - 1)}}{(x + 1) (x - 1) (2 x^{2} - 1)}$

ステップ 8.12.2

$\frac{2 x \sqrt{- (2 x^{2} - 1)}}{(x + 1) (x - 1) (2 x^{2} - 1)}$ に $1$ をかけます。

$\frac{2 x \sqrt{- (2 x^{2} - 1)}}{(x + 1) (x - 1) (2 x^{2} - 1)}$

微分積分 例

微分積分例