微分積分例

$2^{3 - \frac{x}{2}}$

ステップ 1

$2^{3 - \frac{x}{2}}$ を関数で書きます。

$f (x) = 2^{3 - \frac{x}{2}}$

ステップ 2

関数 $F (x)$ は、微分係数 $f (x)$ の不定積分を求めることで求められます。

$F (x) = \int f (x) d x$

ステップ 3

積分を設定し解きます。

$F (x) = \int 2^{3 - \frac{x}{2}} d x$

ステップ 4

$u_{1} = 3 - \frac{x}{2}$ とします。次に $d u_{1} = - \frac{1}{2} d x$ すると、 $- 2 d u_{1} = d x$ です。 $u_{1}$ と $d$ $u_{1}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 4.1

$u_{1} = 3 - \frac{x}{2}$ とします。 $\frac{d u_{1}}{d x}$ を求めます。

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ステップ 4.1.1

$3 - \frac{x}{2}$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [3 - \frac{x}{2}]$

ステップ 4.1.2

微分します。

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ステップ 4.1.2.1

総和則では、 $3 - \frac{x}{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{2}]$ です。

$\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{2}]$

ステップ 4.1.2.2

$3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $3$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{2}]$

ステップ 4.1.3

$\frac{d}{d x} [- \frac{x}{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 4.1.3.1

$- \frac{1}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \frac{x}{2}$ の微分係数は $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ です。

$0 - \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 4.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 - \frac{1}{2} \cdot 1$

ステップ 4.1.3.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$0 - \frac{1}{2}$

ステップ 4.1.4

$0$ から $\frac{1}{2}$ を引きます。

$- \frac{1}{2}$

ステップ 4.2

$u_{1}$ と $d u_{1}$ を利用して問題を書き換えます。

$\int - 2^{u_{1}} \cdot \frac{- 1}{- \frac{1}{2}} d u_{1}$

ステップ 5

簡約します。

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ステップ 5.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\int - 2^{u_{1}} \cdot \frac{1}{\frac{1}{2}} d u_{1}$

ステップ 5.2

分数の逆数を掛け、 $\frac{1}{2}$ で割ります。

$\int - 2^{u_{1}} \cdot (1 \cdot 2) d u_{1}$

ステップ 5.3

$2$ に $1$ をかけます。

$\int - 2^{u_{1}} \cdot 2 d u_{1}$

ステップ 5.4

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\int - 2 \cdot 2^{u_{1}} d u_{1}$

ステップ 5.5

負をくくり出します。

$\int - (2 \cdot 2^{u_{1}}) d u_{1}$

ステップ 5.6

$2$ を $1$ 乗します。

$\int - (2^{1} \cdot 2^{u_{1}}) d u_{1}$

ステップ 5.7

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int - 2^{1 + u_{1}} d u_{1}$

ステップ 6

$- 1$ は $u_{1}$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$- \int 2^{1 + u_{1}} d u_{1}$

ステップ 7

$u_{2} = 1 + u_{1}$ とします。次に $d u_{2} = d u_{1}$ 。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 7.1

$u_{2} = 1 + u_{1}$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ を求めます。

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ステップ 7.1.1

$1 + u_{1}$ を微分します。

$\frac{d}{d u_{1}} [1 + u_{1}]$

ステップ 7.1.2

総和則では、 $1 + u_{1}$ の $u_{1}$ に関する積分は $\frac{d}{d u_{1}} [1] + \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ です。

$\frac{d}{d u_{1}} [1] + \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

ステップ 7.1.3

$1$ は $u_{1}$ について定数なので、 $u_{1}$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

ステップ 7.1.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ は $n {u_{1}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 + 1$

ステップ 7.1.5

$0$ と $1$ をたし算します。

$1$

ステップ 7.2

$u_{2}$ と $d u_{2}$ を利用して問題を書き換えます。

$- \int 2^{u_{2}} d u_{2}$

ステップ 8

$2^{u_{2}}$ の $u_{2}$ に関する積分は $\frac{2^{u_{2}}}{\ln (2)}$ です。

$- (\frac{2^{u_{2}}}{\ln (2)} + C)$

ステップ 9

$- (\frac{2^{u_{2}}}{\ln (2)} + C)$ を $- \frac{1}{\ln (2)} \cdot 2^{u_{2}} + C$ に書き換えます。

$- \frac{1}{\ln (2)} \cdot 2^{u_{2}} + C$

ステップ 10

各積分に置換変数を戻し入れます。

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ステップ 10.1

$u_{2}$ のすべての発生を $1 + u_{1}$ で置き換えます。

$- \frac{1}{\ln (2)} \cdot 2^{1 + u_{1}} + C$

ステップ 10.2

$u_{1}$ のすべての発生を $3 - \frac{x}{2}$ で置き換えます。

$- \frac{1}{\ln (2)} \cdot 2^{1 + 3 - \frac{x}{2}} + C$

ステップ 11

$2^{1 + 3 - \frac{x}{2}}$ と $\frac{1}{\ln (2)}$ をまとめます。

$- \frac{2^{1 + 3 - \frac{x}{2}}}{\ln (2)} + C$

ステップ 12

項を並べ替えます。

$- \frac{1}{\ln (2)} \cdot 2^{1 + 3 - \frac{1}{2} x} + C$

ステップ 13

答えは関数 $f (x) = 2^{3 - \frac{x}{2}}$ の不定積分です。

$F (x) =$ $- \frac{1}{\ln (2)} \cdot 2^{1 + 3 - \frac{1}{2} x} + C$

微分積分 例

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