微分積分例

$\int_{θ_{1}}^{θ_{2}} \frac{1}{θ_{2} - θ_{1}} x d x$

ステップ 1

$\frac{1}{θ_{2} - θ_{1}}$ と $x$ をまとめます。

$\int_{θ_{1}}^{θ_{2}} \frac{x}{θ_{2} - θ_{1}} d x$

ステップ 2

$\frac{1}{θ_{2} - θ_{1}}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{1}{θ_{2} - θ_{1}}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{θ_{2} - θ_{1}} \int_{θ_{1}}^{θ_{2}} x d x$

ステップ 3

べき乗則では、 $x$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{2} x^{2}$ です。

$\frac{1}{θ_{2} - θ_{1}} \frac{1}{2} x^{2}]_{θ_{1}}^{θ_{2}}$

ステップ 4

答えを簡約します。

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ステップ 4.1

簡約します。

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ステップ 4.1.1

$\frac{1}{2}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{θ_{2} - θ_{1}} \frac{x^{2}}{2}]_{θ_{1}}^{θ_{2}}$

ステップ 4.1.2

$\frac{1}{θ_{2} - θ_{1}}$ と $\frac{x^{2}}{2}]_{θ_{1}}^{θ_{2}}$ をまとめます。

$\frac{\frac{x^{2}}{2}]_{θ_{1}}^{θ_{2}}}{θ_{2} - θ_{1}}$

ステップ 4.2

代入し簡約します。

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ステップ 4.2.1

$θ_{2}$ および $θ_{1}$ で $\frac{x^{2}}{2}$ の値を求めます。

$\frac{(\frac{{θ_{2}}^{2}}{2}) - \frac{{θ_{1}}^{2}}{2}}{θ_{2} - θ_{1}}$

ステップ 4.2.2

簡約します。

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ステップ 4.2.2.1

$\frac{\frac{{θ_{2}}^{2}}{2} - \frac{{θ_{1}}^{2}}{2}}{θ_{2} - θ_{1}}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$\frac{2}{2} \cdot \frac{\frac{{θ_{2}}^{2}}{2} - \frac{{θ_{1}}^{2}}{2}}{θ_{2} - θ_{1}}$

ステップ 4.2.2.2

まとめる。

$\frac{2 (\frac{{θ_{2}}^{2}}{2} - \frac{{θ_{1}}^{2}}{2})}{2 (θ_{2} - θ_{1})}$

ステップ 4.2.2.3

分配則を当てはめます。

$\frac{2 \frac{{θ_{2}}^{2}}{2} + 2 (- \frac{{θ_{1}}^{2}}{2})}{2 (θ_{2} - θ_{1})}$

ステップ 4.2.2.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.2.2.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 \frac{{θ_{2}}^{2}}{2} + 2 (- \frac{{θ_{1}}^{2}}{2})}{2 (θ_{2} - θ_{1})}$

ステップ 4.2.2.4.2

式を書き換えます。

$\frac{{θ_{2}}^{2} + 2 (- \frac{{θ_{1}}^{2}}{2})}{2 (θ_{2} - θ_{1})}$

ステップ 4.2.2.5

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{{θ_{2}}^{2} - 2 \frac{{θ_{1}}^{2}}{2}}{2 (θ_{2} - θ_{1})}$

ステップ 4.2.2.6

$- 2$ と $\frac{{θ_{1}}^{2}}{2}$ をまとめます。

$\frac{{θ_{2}}^{2} + \frac{- 2 {θ_{1}}^{2}}{2}}{2 (θ_{2} - θ_{1})}$

ステップ 4.2.2.7

$- 2$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.2.2.7.1

$2$ を $- 2 {θ_{1}}^{2}$ で因数分解します。

$\frac{{θ_{2}}^{2} + \frac{2 (- {θ_{1}}^{2})}{2}}{2 (θ_{2} - θ_{1})}$

ステップ 4.2.2.7.2

共通因数を約分します。

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ステップ 4.2.2.7.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\frac{{θ_{2}}^{2} + \frac{2 (- {θ_{1}}^{2})}{2 (1)}}{2 (θ_{2} - θ_{1})}$

ステップ 4.2.2.7.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{{θ_{2}}^{2} + \frac{2 (- {θ_{1}}^{2})}{2 \cdot 1}}{2 (θ_{2} - θ_{1})}$

ステップ 4.2.2.7.2.3

式を書き換えます。

$\frac{{θ_{2}}^{2} + \frac{- {θ_{1}}^{2}}{1}}{2 (θ_{2} - θ_{1})}$

ステップ 4.2.2.7.2.4

$- {θ_{1}}^{2}$ を $1$ で割ります。

$\frac{{θ_{2}}^{2} - {θ_{1}}^{2}}{2 (θ_{2} - θ_{1})}$

ステップ 5

簡約します。

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ステップ 5.1

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = θ_{2}$ であり、 $b = θ_{1}$ です。

$\frac{(θ_{2} + θ_{1}) (θ_{2} - θ_{1})}{2 (θ_{2} - θ_{1})}$

ステップ 5.2

$θ_{2} - θ_{1}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{(θ_{2} + θ_{1}) (θ_{2} - θ_{1})}{2 (θ_{2} - θ_{1})}$

ステップ 5.2.2

式を書き換えます。

$\frac{θ_{2} + θ_{1}}{2}$

微分積分 例

微分積分例