微分積分例

$\int \sin (\frac{x}{2}) \cos (\frac{x}{2}) d x$

ステップ 1

$u_{2} = \sin (\frac{x}{2})$ とします。次に $d u_{2} = \frac{\cos (\frac{x}{2})}{2} d x$ すると、 $- d u_{2} = \frac{- \cos (\frac{x}{2})}{2} d x$ です。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 1.1

$u_{2} = \sin (\frac{x}{2})$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d x}$ を求めます。

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ステップ 1.1.1

$\sin (\frac{x}{2})$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [\sin (\frac{x}{2})]$

ステップ 1.1.2

$f (x) = \sin (x)$ および $g (x) = \frac{x}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $\frac{x}{2}$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

ステップ 1.1.2.2

$u_{1}$ に関する $\sin (u_{1})$ の微分係数は $\cos (u_{1})$ です。

$\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

ステップ 1.1.2.3

$u_{1}$ のすべての発生を $\frac{x}{2}$ で置き換えます。

$\cos (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

ステップ 1.1.3

微分します。

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ステップ 1.1.3.1

$\frac{1}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{x}{2}$ の微分係数は $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\cos (\frac{x}{2}) (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 1.1.3.2

$\frac{1}{2}$ と $\cos (\frac{x}{2})$ をまとめます。

$\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.1.3.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2} \cdot 1$

ステップ 1.1.3.4

$\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2}$ に $1$ をかけます。

$\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2}$

ステップ 1.2

$u_{2}$ と $d u_{2}$ を利用して問題を書き換えます。

$\int \frac{2}{1} u_{2} d u_{2}$

ステップ 2

$2$ を $1$ で割ります。

$\int 2 u_{2} d u_{2}$

ステップ 3

$2$ は $u_{2}$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$2 \int u_{2} d u_{2}$

ステップ 4

べき乗則では、 $u_{2}$ の $u_{2}$ に関する積分は $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ です。

$2 (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$

ステップ 5

簡約します。

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ステップ 5.1

$2 (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$ を $2 (\frac{1}{2}) {u_{2}}^{2} + C$ に書き換えます。

$2 (\frac{1}{2}) {u_{2}}^{2} + C$

ステップ 5.2

簡約します。

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ステップ 5.2.1

$2$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\frac{2}{2} {u_{2}}^{2} + C$

ステップ 5.2.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{2}{2} {u_{2}}^{2} + C$

ステップ 5.2.2.2

式を書き換えます。

$1 {u_{2}}^{2} + C$

ステップ 5.2.3

${u_{2}}^{2}$ に $1$ をかけます。

${u_{2}}^{2} + C$

ステップ 6

$u_{2}$ のすべての発生を $\sin (\frac{x}{2})$ で置き換えます。

$\sin^{2} (\frac{x}{2}) + C$

ステップ 7

項を並べ替えます。

$\sin^{2} (\frac{1}{2} x) + C$

微分積分 例

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