微分積分例

$lim_{t \to 0} \frac{t}{e^{t} - 1}$

ステップ 1

ロピタルの定理を当てはめます。

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ステップ 1.1

分子と分母の極限値を求めます。

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ステップ 1.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{t \to 0} t}{lim_{t \to 0} e^{t} - 1}$

ステップ 1.1.2

$t$ を $0$ に代入し、 $t$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{lim_{t \to 0} e^{t} - 1}$

ステップ 1.1.3

分母の極限値を求めます。

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ステップ 1.1.3.1

極限を求めます。

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ステップ 1.1.3.1.1

$t$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{0}{lim_{t \to 0} e^{t} - lim_{t \to 0} 1}$

ステップ 1.1.3.1.2

指数に極限を移動させます。

$\frac{0}{e^{lim_{t \to 0} t} - lim_{t \to 0} 1}$

ステップ 1.1.3.1.3

$t$ が $0$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{e^{lim_{t \to 0} t} - 1 \cdot 1}$

ステップ 1.1.3.2

$t$ を $0$ に代入し、 $t$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{e^{0} - 1 \cdot 1}$

ステップ 1.1.3.3

答えを簡約します。

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ステップ 1.1.3.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.1.3.3.1.1

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

ステップ 1.1.3.3.1.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{0}{1 - 1}$

ステップ 1.1.3.3.2

$1$ から $1$ を引きます。

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.3.3.3

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.3.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{t \to 0} \frac{t}{e^{t} - 1} = lim_{t \to 0} \frac{\frac{d}{d t} [t]}{\frac{d}{d t} [e^{t} - 1]}$

ステップ 1.3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 1.3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{d}{d t} [t]}{\frac{d}{d t} [e^{t} - 1]}$

ステップ 1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{t \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d t} [e^{t} - 1]}$

ステップ 1.3.3

総和則では、 $e^{t} - 1$ の $t$ に関する積分は $\frac{d}{d t} [e^{t}] + \frac{d}{d t} [- 1]$ です。

$lim_{t \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d t} [e^{t}] + \frac{d}{d t} [- 1]}$

ステップ 1.3.4

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d t} [a^{t}]$ は $a^{t} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$lim_{t \to 0} \frac{1}{e^{t} + \frac{d}{d t} [- 1]}$

ステップ 1.3.5

$- 1$ は $t$ について定数なので、 $t$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{t \to 0} \frac{1}{e^{t} + 0}$

ステップ 1.3.6

$e^{t}$ と $0$ をたし算します。

$lim_{t \to 0} \frac{1}{e^{t}}$

ステップ 2

極限を求めます。

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ステップ 2.1

$t$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$\frac{lim_{t \to 0} 1}{lim_{t \to 0} e^{t}}$

ステップ 2.2

$t$ が $0$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{lim_{t \to 0} e^{t}}$

ステップ 2.3

指数に極限を移動させます。

$\frac{1}{e^{lim_{t \to 0} t}}$

ステップ 3

$t$ を $0$ に代入し、 $t$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{e^{0}}$

ステップ 4

答えを簡約します。

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ステップ 4.1

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$\frac{1}{1}$

ステップ 4.2

$1$ を $1$ で割ります。

$1$

微分積分 例

微分積分例