微分積分例

$y = \frac{\csc^{2} (\frac{x}{2})}{3 x + 4}$

ステップ 1

$f (x) = \csc^{2} (\frac{x}{2})$ および $g (x) = 3 x + 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{(3 x + 4) \frac{d}{d x} [\csc^{2} (\frac{x}{2})] - \csc^{2} (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [3 x + 4]}{{(3 x + 4)}^{2}}$

ステップ 2

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = \csc (\frac{x}{2})$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $\csc (\frac{x}{2})$ とします。

$\frac{(3 x + 4) (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\csc (\frac{x}{2})]) - \csc^{2} (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [3 x + 4]}{{(3 x + 4)}^{2}}$

ステップ 2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ は $n {u_{1}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(3 x + 4) (2 u_{1} \frac{d}{d x} [\csc (\frac{x}{2})]) - \csc^{2} (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [3 x + 4]}{{(3 x + 4)}^{2}}$

ステップ 2.3

$u_{1}$ のすべての発生を $\csc (\frac{x}{2})$ で置き換えます。

$\frac{(3 x + 4) (2 \csc (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [\csc (\frac{x}{2})]) - \csc^{2} (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [3 x + 4]}{{(3 x + 4)}^{2}}$

ステップ 3

$2$ を $3 x + 4$ の左に移動させます。

$\frac{2 \cdot (3 x + 4) \csc (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [\csc (\frac{x}{2})] - \csc^{2} (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [3 x + 4]}{{(3 x + 4)}^{2}}$

ステップ 4

$f (x) = \csc (x)$ および $g (x) = \frac{x}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 4.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $\frac{x}{2}$ とします。

$\frac{2 (3 x + 4) \csc (\frac{x}{2}) (\frac{d}{d u_{2}} [\csc (u_{2})] \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]) - \csc^{2} (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [3 x + 4]}{{(3 x + 4)}^{2}}$

ステップ 4.2

$u_{2}$ に関する $\csc (u_{2})$ の微分係数は $- \csc (u_{2}) \cot (u_{2})$ です。

$\frac{2 (3 x + 4) \csc (\frac{x}{2}) (- \csc (u_{2}) \cot (u_{2}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]) - \csc^{2} (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [3 x + 4]}{{(3 x + 4)}^{2}}$

ステップ 4.3

$u_{2}$ のすべての発生を $\frac{x}{2}$ で置き換えます。

$\frac{2 (3 x + 4) \csc (\frac{x}{2}) (- \csc (\frac{x}{2}) \cot (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]) - \csc^{2} (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [3 x + 4]}{{(3 x + 4)}^{2}}$

ステップ 5

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{- 2 (3 x + 4) \csc (\frac{x}{2}) (\csc (\frac{x}{2}) \cot (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]) - \csc^{2} (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [3 x + 4]}{{(3 x + 4)}^{2}}$

ステップ 6

$\csc (\frac{x}{2})$ を $1$ 乗します。

$\frac{- 2 (3 x + 4) (\csc^{1} (\frac{x}{2}) \csc (\frac{x}{2})) (\cot (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]) - \csc^{2} (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [3 x + 4]}{{(3 x + 4)}^{2}}$

ステップ 7

$\csc (\frac{x}{2})$ を $1$ 乗します。

$\frac{- 2 (3 x + 4) (\csc^{1} (\frac{x}{2}) \csc^{1} (\frac{x}{2})) (\cot (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]) - \csc^{2} (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [3 x + 4]}{{(3 x + 4)}^{2}}$

ステップ 8

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{- 2 (3 x + 4) {\csc (\frac{x}{2})}^{1 + 1} (\cot (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]) - \csc^{2} (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [3 x + 4]}{{(3 x + 4)}^{2}}$

ステップ 9

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{- 2 (3 x + 4) \csc^{2} (\frac{x}{2}) (\cot (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]) - \csc^{2} (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [3 x + 4]}{{(3 x + 4)}^{2}}$

ステップ 10

$\frac{1}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{x}{2}$ の微分係数は $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{- 2 (3 x + 4) \csc^{2} (\frac{x}{2}) \cot (\frac{x}{2}) (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]) - \csc^{2} (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [3 x + 4]}{{(3 x + 4)}^{2}}$

ステップ 11

項を簡約します。

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ステップ 11.1

$\frac{1}{2}$ と $- 2$ をまとめます。

$\frac{\frac{- 2}{2} (3 x + 4) \csc^{2} (\frac{x}{2}) \cot (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x] - \csc^{2} (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [3 x + 4]}{{(3 x + 4)}^{2}}$

ステップ 11.2

$\csc^{2} (\frac{x}{2})$ と $\frac{- 2}{2}$ をまとめます。

$\frac{\frac{\csc^{2} (\frac{x}{2}) \cdot - 2}{2} (3 x + 4) \cot (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x] - \csc^{2} (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [3 x + 4]}{{(3 x + 4)}^{2}}$

ステップ 11.3

$\cot (\frac{x}{2})$ と $\frac{\csc^{2} (\frac{x}{2}) \cdot - 2}{2}$ をまとめます。

$\frac{\frac{\cot (\frac{x}{2}) (\csc^{2} (\frac{x}{2}) \cdot - 2)}{2} (3 x + 4) \frac{d}{d x} [x] - \csc^{2} (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [3 x + 4]}{{(3 x + 4)}^{2}}$

ステップ 11.4

$- 2$ を $\csc^{2} (\frac{x}{2})$ の左に移動させます。

$\frac{\frac{\cot (\frac{x}{2}) (- 2 \cdot \csc^{2} (\frac{x}{2}))}{2} (3 x + 4) \frac{d}{d x} [x] - \csc^{2} (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [3 x + 4]}{{(3 x + 4)}^{2}}$

ステップ 11.5

$- 2$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 11.5.1

$2$ を $\cot (\frac{x}{2}) (- 2 \csc^{2} (\frac{x}{2}))$ で因数分解します。

$\frac{\frac{2 (\cot (\frac{x}{2}) (- \csc^{2} (\frac{x}{2})))}{2} (3 x + 4) \frac{d}{d x} [x] - \csc^{2} (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [3 x + 4]}{{(3 x + 4)}^{2}}$

ステップ 11.5.2

共通因数を約分します。

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ステップ 11.5.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\frac{\frac{2 (\cot (\frac{x}{2}) (- \csc^{2} (\frac{x}{2})))}{2 (1)} (3 x + 4) \frac{d}{d x} [x] - \csc^{2} (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [3 x + 4]}{{(3 x + 4)}^{2}}$

ステップ 11.5.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{\frac{2 (\cot (\frac{x}{2}) (- \csc^{2} (\frac{x}{2})))}{2 \cdot 1} (3 x + 4) \frac{d}{d x} [x] - \csc^{2} (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [3 x + 4]}{{(3 x + 4)}^{2}}$

ステップ 11.5.2.3

式を書き換えます。

$\frac{\frac{\cot (\frac{x}{2}) (- \csc^{2} (\frac{x}{2}))}{1} (3 x + 4) \frac{d}{d x} [x] - \csc^{2} (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [3 x + 4]}{{(3 x + 4)}^{2}}$

ステップ 11.5.2.4

$\cot (\frac{x}{2}) (- \csc^{2} (\frac{x}{2}))$ を $1$ で割ります。

$\frac{\cot (\frac{x}{2}) (- \csc^{2} (\frac{x}{2})) (3 x + 4) \frac{d}{d x} [x] - \csc^{2} (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [3 x + 4]}{{(3 x + 4)}^{2}}$

ステップ 12

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\cot (\frac{x}{2}) (- \csc^{2} (\frac{x}{2})) (3 x + 4) \cdot 1 - \csc^{2} (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [3 x + 4]}{{(3 x + 4)}^{2}}$

ステップ 13

$\cot (\frac{x}{2})$ に $1$ をかけます。

$\frac{(- \csc^{2} (\frac{x}{2})) (3 x + 4) \cdot \cot (\frac{x}{2}) - \csc^{2} (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [3 x + 4]}{{(3 x + 4)}^{2}}$

ステップ 14

総和則では、 $3 x + 4$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [4]$ です。

$\frac{- \csc^{2} (\frac{x}{2}) (3 x + 4) \cot (\frac{x}{2}) - \csc^{2} (\frac{x}{2}) (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [4])}{{(3 x + 4)}^{2}}$

ステップ 15

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{- \csc^{2} (\frac{x}{2}) (3 x + 4) \cot (\frac{x}{2}) - \csc^{2} (\frac{x}{2}) (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4])}{{(3 x + 4)}^{2}}$

ステップ 16

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{- \csc^{2} (\frac{x}{2}) (3 x + 4) \cot (\frac{x}{2}) - \csc^{2} (\frac{x}{2}) (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4])}{{(3 x + 4)}^{2}}$

ステップ 17

$3$ に $1$ をかけます。

$\frac{- \csc^{2} (\frac{x}{2}) (3 x + 4) \cot (\frac{x}{2}) - \csc^{2} (\frac{x}{2}) (3 + \frac{d}{d x} [4])}{{(3 x + 4)}^{2}}$

ステップ 18

$4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $4$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{- \csc^{2} (\frac{x}{2}) (3 x + 4) \cot (\frac{x}{2}) - \csc^{2} (\frac{x}{2}) (3 + 0)}{{(3 x + 4)}^{2}}$

ステップ 19

式を簡約します。

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ステップ 19.1

$3$ と $0$ をたし算します。

$\frac{- \csc^{2} (\frac{x}{2}) (3 x + 4) \cot (\frac{x}{2}) - \csc^{2} (\frac{x}{2}) \cdot 3}{{(3 x + 4)}^{2}}$

ステップ 19.2

$3$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{- \csc^{2} (\frac{x}{2}) (3 x + 4) \cot (\frac{x}{2}) - 3 \csc^{2} (\frac{x}{2})}{{(3 x + 4)}^{2}}$

ステップ 20

簡約します。

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ステップ 20.1

分配則を当てはめます。

$\frac{(- \csc^{2} (\frac{x}{2}) (3 x) - \csc^{2} (\frac{x}{2}) \cdot 4) \cot (\frac{x}{2}) - 3 \csc^{2} (\frac{x}{2})}{{(3 x + 4)}^{2}}$

ステップ 20.2

分配則を当てはめます。

$\frac{- \csc^{2} (\frac{x}{2}) (3 x) \cot (\frac{x}{2}) - \csc^{2} (\frac{x}{2}) \cdot 4 \cot (\frac{x}{2}) - 3 \csc^{2} (\frac{x}{2})}{{(3 x + 4)}^{2}}$

ステップ 20.3

分子を簡約します。

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ステップ 20.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 20.3.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{- 1 \cdot 3 \csc^{2} (\frac{x}{2}) x \cot (\frac{x}{2}) - \csc^{2} (\frac{x}{2}) \cdot 4 \cot (\frac{x}{2}) - 3 \csc^{2} (\frac{x}{2})}{{(3 x + 4)}^{2}}$

ステップ 20.3.1.2

$- 1$ に $3$ をかけます。

$\frac{- 3 \csc^{2} (\frac{x}{2}) x \cot (\frac{x}{2}) - \csc^{2} (\frac{x}{2}) \cdot 4 \cot (\frac{x}{2}) - 3 \csc^{2} (\frac{x}{2})}{{(3 x + 4)}^{2}}$

ステップ 20.3.1.3

$4$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{- 3 \csc^{2} (\frac{x}{2}) x \cot (\frac{x}{2}) - 4 \csc^{2} (\frac{x}{2}) \cot (\frac{x}{2}) - 3 \csc^{2} (\frac{x}{2})}{{(3 x + 4)}^{2}}$

ステップ 20.3.2

$- 3 \csc^{2} (\frac{x}{2}) x \cot (\frac{x}{2}) - 4 \csc^{2} (\frac{x}{2}) \cot (\frac{x}{2}) - 3 \csc^{2} (\frac{x}{2})$ の因数を並べ替えます。

$\frac{- 3 x \csc^{2} (\frac{x}{2}) \cot (\frac{x}{2}) - 4 \csc^{2} (\frac{x}{2}) \cot (\frac{x}{2}) - 3 \csc^{2} (\frac{x}{2})}{{(3 x + 4)}^{2}}$

ステップ 20.4

$\csc^{2} (\frac{x}{2})$ を $- 3 x \csc^{2} (\frac{x}{2}) \cot (\frac{x}{2}) - 4 \csc^{2} (\frac{x}{2}) \cot (\frac{x}{2}) - 3 \csc^{2} (\frac{x}{2})$ で因数分解します。

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ステップ 20.4.1

$\csc^{2} (\frac{x}{2})$ を $- 3 x \csc^{2} (\frac{x}{2}) \cot (\frac{x}{2})$ で因数分解します。

$\frac{\csc^{2} (\frac{x}{2}) (- 3 x \cot (\frac{x}{2})) - 4 \csc^{2} (\frac{x}{2}) \cot (\frac{x}{2}) - 3 \csc^{2} (\frac{x}{2})}{{(3 x + 4)}^{2}}$

ステップ 20.4.2

$\csc^{2} (\frac{x}{2})$ を $- 4 \csc^{2} (\frac{x}{2}) \cot (\frac{x}{2})$ で因数分解します。

$\frac{\csc^{2} (\frac{x}{2}) (- 3 x \cot (\frac{x}{2})) + \csc^{2} (\frac{x}{2}) (- 4 \cot (\frac{x}{2})) - 3 \csc^{2} (\frac{x}{2})}{{(3 x + 4)}^{2}}$

ステップ 20.4.3

$\csc^{2} (\frac{x}{2})$ を $- 3 \csc^{2} (\frac{x}{2})$ で因数分解します。

$\frac{\csc^{2} (\frac{x}{2}) (- 3 x \cot (\frac{x}{2})) + \csc^{2} (\frac{x}{2}) (- 4 \cot (\frac{x}{2})) + \csc^{2} (\frac{x}{2}) \cdot - 3}{{(3 x + 4)}^{2}}$

ステップ 20.4.4

$\csc^{2} (\frac{x}{2})$ を $\csc^{2} (\frac{x}{2}) (- 3 x \cot (\frac{x}{2})) + \csc^{2} (\frac{x}{2}) (- 4 \cot (\frac{x}{2}))$ で因数分解します。

$\frac{\csc^{2} (\frac{x}{2}) (- 3 x \cot (\frac{x}{2}) - 4 \cot (\frac{x}{2})) + \csc^{2} (\frac{x}{2}) \cdot - 3}{{(3 x + 4)}^{2}}$

ステップ 20.4.5

$\csc^{2} (\frac{x}{2})$ を $\csc^{2} (\frac{x}{2}) (- 3 x \cot (\frac{x}{2}) - 4 \cot (\frac{x}{2})) + \csc^{2} (\frac{x}{2}) \cdot - 3$ で因数分解します。

$\frac{\csc^{2} (\frac{x}{2}) (- 3 x \cot (\frac{x}{2}) - 4 \cot (\frac{x}{2}) - 3)}{{(3 x + 4)}^{2}}$

ステップ 20.5

$- 1$ を $- 3 x \cot (\frac{x}{2})$ で因数分解します。

$\frac{\csc^{2} (\frac{x}{2}) (- (3 x \cot (\frac{x}{2})) - 4 \cot (\frac{x}{2}) - 3)}{{(3 x + 4)}^{2}}$

ステップ 20.6

$- 1$ を $- 4 \cot (\frac{x}{2})$ で因数分解します。

$\frac{\csc^{2} (\frac{x}{2}) (- (3 x \cot (\frac{x}{2})) - (4 \cot (\frac{x}{2})) - 3)}{{(3 x + 4)}^{2}}$

ステップ 20.7

$- 1$ を $- (3 x \cot (\frac{x}{2})) - (4 \cot (\frac{x}{2}))$ で因数分解します。

$\frac{\csc^{2} (\frac{x}{2}) (- (3 x \cot (\frac{x}{2}) + 4 \cot (\frac{x}{2})) - 3)}{{(3 x + 4)}^{2}}$

ステップ 20.8

$- 3$ を $- 1 (3)$ に書き換えます。

$\frac{\csc^{2} (\frac{x}{2}) (- (3 x \cot (\frac{x}{2}) + 4 \cot (\frac{x}{2})) - 1 (3))}{{(3 x + 4)}^{2}}$

ステップ 20.9

$- 1$ を $- (3 x \cot (\frac{x}{2}) + 4 \cot (\frac{x}{2})) - 1 (3)$ で因数分解します。

$\frac{\csc^{2} (\frac{x}{2}) (- (3 x \cot (\frac{x}{2}) + 4 \cot (\frac{x}{2}) + 3))}{{(3 x + 4)}^{2}}$

ステップ 20.10

$- (3 x \cot (\frac{x}{2}) + 4 \cot (\frac{x}{2}) + 3)$ を $- 1 (3 x \cot (\frac{x}{2}) + 4 \cot (\frac{x}{2}) + 3)$ に書き換えます。

$\frac{\csc^{2} (\frac{x}{2}) (- 1 (3 x \cot (\frac{x}{2}) + 4 \cot (\frac{x}{2}) + 3))}{{(3 x + 4)}^{2}}$

ステップ 20.11

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{\csc^{2} (\frac{x}{2}) (3 x \cot (\frac{x}{2}) + 4 \cot (\frac{x}{2}) + 3)}{{(3 x + 4)}^{2}}$

微分積分 例

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