微分積分例

$y = \tan (x \sin (x))$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\tan (x \sin (x)))$

ステップ 2

$x$ に関する $y$ の微分係数は $y'$ です。

$y'$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 3.1

$f (x) = \tan (x)$ および $g (x) = x \sin (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x \sin (x)$ とします。

$\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [x \sin (x)]$

ステップ 3.1.2

$u$ に関する $\tan (u)$ の微分係数は $\sec^{2} (u)$ です。

$\sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [x \sin (x)]$

ステップ 3.1.3

$u$ のすべての発生を $x \sin (x)$ で置き換えます。

$\sec^{2} (x \sin (x)) \frac{d}{d x} [x \sin (x)]$

ステップ 3.2

$f (x) = x$ および $g (x) = \sin (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$\sec^{2} (x \sin (x)) (x \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 3.3

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$\sec^{2} (x \sin (x)) (x \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 3.4

べき乗則を使って微分します。

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ステップ 3.4.1

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\sec^{2} (x \sin (x)) (x \cos (x) + \sin (x) \cdot 1)$

ステップ 3.4.2

$\sin (x)$ に $1$ をかけます。

$\sec^{2} (x \sin (x)) (x \cos (x) + \sin (x))$

ステップ 3.5

簡約します。

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ステップ 3.5.1

分配則を当てはめます。

$\sec^{2} (x \sin (x)) (x \cos (x)) + \sec^{2} (x \sin (x)) \sin (x)$

ステップ 3.5.2

項を並べ替えます。

$x \sec^{2} (x \sin (x)) \cos (x) + \sec^{2} (x \sin (x)) \sin (x)$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$y' = x \sec^{2} (x \sin (x)) \cos (x) + \sec^{2} (x \sin (x)) \sin (x)$

ステップ 5

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = x \sec^{2} (x \sin (x)) \cos (x) + \sec^{2} (x \sin (x)) \sin (x)$

微分積分 例

微分積分例