微分積分例

$\int \frac{2 x + 4}{x^{2} + 9} d x$

ステップ 1

分数 $\frac{2 x + 4}{x^{2} + 9}$ を2つの分数に分割します。

$\int \frac{2 x}{x^{2} + 9} + \frac{4}{x^{2} + 9} d x$

ステップ 2

単一積分を複数積分に分割します。

$\int \frac{2 x}{x^{2} + 9} d x + \int \frac{4}{x^{2} + 9} d x$

ステップ 3

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$2 \int \frac{x}{x^{2} + 9} d x + \int \frac{4}{x^{2} + 9} d x$

ステップ 4

$u = x^{2} + 9$ とします。次に $d u = 2 x d x$ すると、 $\frac{1}{2} d u = x d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 4.1

$u = x^{2} + 9$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 4.1.1

$x^{2} + 9$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 9]$

ステップ 4.1.2

総和則では、 $x^{2} + 9$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$

ステップ 4.1.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 x + \frac{d}{d x} [9]$

ステップ 4.1.4

$9$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $9$ の微分係数は $0$ です。

$2 x + 0$

ステップ 4.1.5

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$2 x$

ステップ 4.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$2 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u + \int \frac{4}{x^{2} + 9} d x$

ステップ 5

簡約します。

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ステップ 5.1

$\frac{1}{u}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$2 \int \frac{1}{u \cdot 2} d u + \int \frac{4}{x^{2} + 9} d x$

ステップ 5.2

$2$ を $u$ の左に移動させます。

$2 \int \frac{1}{2 u} d u + \int \frac{4}{x^{2} + 9} d x$

ステップ 6

$\frac{1}{2}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u) + \int \frac{4}{x^{2} + 9} d x$

ステップ 7

簡約します。

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ステップ 7.1

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{2}{2} \int \frac{1}{u} d u + \int \frac{4}{x^{2} + 9} d x$

ステップ 7.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{2}{2} \int \frac{1}{u} d u + \int \frac{4}{x^{2} + 9} d x$

ステップ 7.2.2

式を書き換えます。

$1 \int \frac{1}{u} d u + \int \frac{4}{x^{2} + 9} d x$

ステップ 7.3

$\int \frac{1}{u} d u$ に $1$ をかけます。

$\int \frac{1}{u} d u + \int \frac{4}{x^{2} + 9} d x$

ステップ 8

$\frac{1}{u}$ の $u$ に関する積分は $\ln (| u |)$ です。

$\ln (| u |) + C + \int \frac{4}{x^{2} + 9} d x$

ステップ 9

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $4$ を積分の外に移動させます。

$\ln (| u |) + C + 4 \int \frac{1}{x^{2} + 9} d x$

ステップ 10

式を簡約します。

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ステップ 10.1

$x^{2}$ と $9$ を並べ替えます。

$\ln (| u |) + C + 4 \int \frac{1}{9 + x^{2}} d x$

ステップ 10.2

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$\ln (| u |) + C + 4 \int \frac{1}{3^{2} + x^{2}} d x$

ステップ 11

$\frac{1}{3^{2} + x^{2}}$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{3} \arctan (\frac{x}{3}) + C$ です。

$\ln (| u |) + C + 4 (\frac{1}{3} \arctan (\frac{x}{3}) + C)$

ステップ 12

簡約します。

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ステップ 12.1

$\frac{1}{3}$ と $\arctan (\frac{x}{3})$ をまとめます。

$\ln (| u |) + C + 4 (\frac{\arctan (\frac{x}{3})}{3} + C)$

ステップ 12.2

簡約します。

$\ln (| u |) + \frac{4 \arctan (\frac{x}{3})}{3} + C$

ステップ 13

$u$ のすべての発生を $x^{2} + 9$ で置き換えます。

$\ln (| x^{2} + 9 |) + \frac{4 \arctan (\frac{x}{3})}{3} + C$

ステップ 14

項を並べ替えます。

$\ln (| x^{2} + 9 |) + \frac{4}{3} \arctan (\frac{1}{3} x) + C$

微分積分 例

微分積分例