微分積分例

$\int_{3}^{4} x \sqrt{x - 3} d x$

ステップ 1

$u = x - 3$ とします。次に $d u = d x$ 。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 1.1

$u = x - 3$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 1.1.1

$x - 3$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x - 3]$

ステップ 1.1.2

総和則では、 $x - 3$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ です。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

ステップ 1.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d x} [- 3]$

ステップ 1.1.4

$- 3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 3$ の微分係数は $0$ です。

$1 + 0$

ステップ 1.1.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$1$

ステップ 1.2

$u = x - 3$ の $x$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = 3 - 3$

ステップ 1.3

$3$ から $3$ を引きます。

$u_{lower} = 0$

ステップ 1.4

$u = x - 3$ の $x$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = 4 - 3$

ステップ 1.5

$4$ から $3$ を引きます。

$u_{upper} = 1$

ステップ 1.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 1$

ステップ 1.7

$u$ 、 $d u$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$\int_{0}^{1} (u + 3) \sqrt{u} d u$

ステップ 2

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{u}$ を $u^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\int_{0}^{1} (u + 3) u^{\frac{1}{2}} d u$

ステップ 3

$(u + 3) u^{\frac{1}{2}}$ を展開します。

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ステップ 3.1

分配則を当てはめます。

$\int_{0}^{1} u \cdot u^{\frac{1}{2}} + 3 u^{\frac{1}{2}} d u$

ステップ 3.2

$u$ を $1$ 乗します。

$\int_{0}^{1} u^{1} u^{\frac{1}{2}} + 3 u^{\frac{1}{2}} d u$

ステップ 3.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int_{0}^{1} u^{1 + \frac{1}{2}} + 3 u^{\frac{1}{2}} d u$

ステップ 3.4

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\int_{0}^{1} u^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} + 3 u^{\frac{1}{2}} d u$

ステップ 3.5

公分母の分子をまとめます。

$\int_{0}^{1} u^{\frac{2 + 1}{2}} + 3 u^{\frac{1}{2}} d u$

ステップ 3.6

$2$ と $1$ をたし算します。

$\int_{0}^{1} u^{\frac{3}{2}} + 3 u^{\frac{1}{2}} d u$

ステップ 3.7

$u^{\frac{3}{2}}$ と $3 u^{\frac{1}{2}}$ を並べ替えます。

$\int_{0}^{1} 3 u^{\frac{1}{2}} + u^{\frac{3}{2}} d u$

ステップ 4

単一積分を複数積分に分割します。

$\int_{0}^{1} 3 u^{\frac{1}{2}} d u + \int_{0}^{1} u^{\frac{3}{2}} d u$

ステップ 5

$3$ は $u$ に対して定数なので、 $3$ を積分の外に移動させます。

$3 \int_{0}^{1} u^{\frac{1}{2}} d u + \int_{0}^{1} u^{\frac{3}{2}} d u$

ステップ 6

べき乗則では、 $u^{\frac{1}{2}}$ の $u$ に関する積分は $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ です。

$3 (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} u^{\frac{3}{2}} d u$

ステップ 7

べき乗則では、 $u^{\frac{3}{2}}$ の $u$ に関する積分は $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ です。

$3 (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{0}^{1}) + \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}]_{0}^{1}$

ステップ 8

式を簡約します。

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ステップ 8.1

$1$ および $0$ で $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ の値を求めます。

$3 ((\frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}) + \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}]_{0}^{1}$

ステップ 8.2

式を簡約します。

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ステップ 8.2.1

$1$ および $0$ で $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ の値を求めます。

$3 (\frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}) + \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}$

ステップ 8.2.2

1のすべての数の累乗は1です。

$3 (\frac{2}{3} \cdot 1 - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}) + \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}$

ステップ 8.2.3

$\frac{2}{3}$ に $1$ をかけます。

$3 (\frac{2}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}) + \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}$

ステップ 8.3

簡約します。

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ステップ 8.3.1

$0$ を $0^{2}$ に書き換えます。

$3 (\frac{2}{3} - \frac{2}{3} \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}}) + \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}$

ステップ 8.3.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$3 (\frac{2}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}) + \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}$

ステップ 8.3.3

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 8.3.3.1

共通因数を約分します。

$3 (\frac{2}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}) + \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}$

ステップ 8.3.3.2

式を書き換えます。

$3 (\frac{2}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{3}) + \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}$

ステップ 8.3.4

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$3 (\frac{2}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0) + \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}$

ステップ 8.4

簡約します。

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ステップ 8.4.1

$0$ に $- 1$ をかけます。

$3 (\frac{2}{3} + 0 (\frac{2}{3})) + \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}$

ステップ 8.4.2

$0$ に $\frac{2}{3}$ をかけます。

$3 (\frac{2}{3} + 0) + \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}$

ステップ 8.5

$\frac{2}{3}$ と $0$ をたし算します。

$3 (\frac{2}{3}) + \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}$

ステップ 8.6

簡約します。

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ステップ 8.6.1

$3$ と $\frac{2}{3}$ をまとめます。

$\frac{3 \cdot 2}{3} + \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}$

ステップ 8.6.2

$3$ に $2$ をかけます。

$\frac{6}{3} + \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}$

ステップ 8.6.3

$6$ と $3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 8.6.3.1

$3$ を $6$ で因数分解します。

$\frac{3 \cdot 2}{3} + \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}$

ステップ 8.6.3.2

共通因数を約分します。

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ステップ 8.6.3.2.1

$3$ を $3$ で因数分解します。

$\frac{3 \cdot 2}{3 (1)} + \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}$

ステップ 8.6.3.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 1} + \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}$

ステップ 8.6.3.2.3

式を書き換えます。

$\frac{2}{1} + \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}$

ステップ 8.6.3.2.4

$2$ を $1$ で割ります。

$2 + \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}$

ステップ 8.7

式を簡約します。

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ステップ 8.7.1

1のすべての数の累乗は1です。

$2 + \frac{2}{5} \cdot 1 - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}$

ステップ 8.7.2

$\frac{2}{5}$ に $1$ をかけます。

$2 + \frac{2}{5} - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}$

ステップ 8.8

簡約します。

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ステップ 8.8.1

$0$ を $0^{2}$ に書き換えます。

$2 + \frac{2}{5} - \frac{2}{5} \cdot {(0^{2})}^{\frac{5}{2}}$

ステップ 8.8.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$2 + \frac{2}{5} - \frac{2}{5} \cdot 0^{2 (\frac{5}{2})}$

ステップ 8.8.3

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 8.8.3.1

共通因数を約分します。

$2 + \frac{2}{5} - \frac{2}{5} \cdot 0^{2 (\frac{5}{2})}$

ステップ 8.8.3.2

式を書き換えます。

$2 + \frac{2}{5} - \frac{2}{5} \cdot 0^{5}$

ステップ 8.8.4

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$2 + \frac{2}{5} - \frac{2}{5} \cdot 0$

ステップ 8.9

簡約します。

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ステップ 8.9.1

$0$ に $- 1$ をかけます。

$2 + \frac{2}{5} + 0 (\frac{2}{5})$

ステップ 8.9.2

$0$ に $\frac{2}{5}$ をかけます。

$2 + \frac{2}{5} + 0$

ステップ 8.10

$\frac{2}{5}$ と $0$ をたし算します。

$2 + \frac{2}{5}$

ステップ 8.11

簡約します。

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ステップ 8.11.1

$2$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{5}{5}$ を掛けます。

$2 \cdot \frac{5}{5} + \frac{2}{5}$

ステップ 8.11.2

$2$ と $\frac{5}{5}$ をまとめます。

$\frac{2 \cdot 5}{5} + \frac{2}{5}$

ステップ 8.11.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{2 \cdot 5 + 2}{5}$

ステップ 8.11.4

分子を簡約します。

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ステップ 8.11.4.1

$2$ に $5$ をかけます。

$\frac{10 + 2}{5}$

ステップ 8.11.4.2

$10$ と $2$ をたし算します。

$\frac{12}{5}$

ステップ 9

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{12}{5}$

10進法形式：

$2.4$

帯分数形：

$2 \frac{2}{5}$

微分積分 例

微分積分例