微分積分例

$y = \frac{3}{\sin (x) + \cos (x)}$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{3}{\sin (x) + \cos (x)})$

ステップ 2

$x$ に関する $y$ の微分係数は $y'$ です。

$y'$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

定数倍の公式を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{3}{\sin (x) + \cos (x)}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{\sin (x) + \cos (x)}]$ です。

$3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{\sin (x) + \cos (x)}]$

ステップ 3.1.2

$\frac{1}{\sin (x) + \cos (x)}$ を ${(\sin (x) + \cos (x))}^{- 1}$ に書き換えます。

$3 \frac{d}{d x} [{(\sin (x) + \cos (x))}^{- 1}]$

ステップ 3.2

$f (x) = x^{- 1}$ および $g (x) = \sin (x) + \cos (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\sin (x) + \cos (x)$ とします。

$3 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [\sin (x) + \cos (x)])$

ステップ 3.2.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [\sin (x) + \cos (x)])$

ステップ 3.2.3

$u$ のすべての発生を $\sin (x) + \cos (x)$ で置き換えます。

$3 (- {(\sin (x) + \cos (x))}^{- 2} \frac{d}{d x} [\sin (x) + \cos (x)])$

ステップ 3.3

和の法則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

$- 1$ に $3$ をかけます。

$- 3 ({(\sin (x) + \cos (x))}^{- 2} \frac{d}{d x} [\sin (x) + \cos (x)])$

ステップ 3.3.2

総和則では、 $\sin (x) + \cos (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ です。

$- 3 {(\sin (x) + \cos (x))}^{- 2} (\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

ステップ 3.4

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$- 3 {(\sin (x) + \cos (x))}^{- 2} (\cos (x) + \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

ステップ 3.5

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$- 3 {(\sin (x) + \cos (x))}^{- 2} (\cos (x) - \sin (x))$

ステップ 3.6

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$- 3 \frac{1}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}} (\cos (x) - \sin (x))$

ステップ 3.7

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.7.1

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.7.1.1

$- 3$ と $\frac{1}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$ をまとめます。

$\frac{- 3}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}} (\cos (x) - \sin (x))$

ステップ 3.7.1.2

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{3}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}} (\cos (x) - \sin (x))$

ステップ 3.7.2

$- \frac{3}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}} (\cos (x) - \sin (x))$ の因数を並べ替えます。

$- (\cos (x) - \sin (x)) \frac{3}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$y' = - (\cos (x) - \sin (x)) \frac{3}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

ステップ 5

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = - (\cos (x) - \sin (x)) \frac{3}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

微分積分 例

微分積分例