微分積分例

$\cos^{2} (\frac{x}{2})$

ステップ 1

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = \cos (\frac{x}{2})$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $\cos (\frac{x}{2})$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\cos (\frac{x}{2})]$

ステップ 1.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ は $n {u_{1}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 u_{1} \frac{d}{d x} [\cos (\frac{x}{2})]$

ステップ 1.3

$u_{1}$ のすべての発生を $\cos (\frac{x}{2})$ で置き換えます。

$2 \cos (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [\cos (\frac{x}{2})]$

ステップ 2

$f (x) = \cos (x)$ および $g (x) = \frac{x}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $\frac{x}{2}$ とします。

$2 \cos (\frac{x}{2}) (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}])$

ステップ 2.2

$u_{2}$ に関する $\cos (u_{2})$ の微分係数は $- \sin (u_{2})$ です。

$2 \cos (\frac{x}{2}) (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}])$

ステップ 2.3

$u_{2}$ のすべての発生を $\frac{x}{2}$ で置き換えます。

$2 \cos (\frac{x}{2}) (- \sin (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}])$

ステップ 3

微分します。

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ステップ 3.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$- 2 \cos (\frac{x}{2}) (\sin (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}])$

ステップ 3.2

$\frac{1}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{x}{2}$ の微分係数は $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ です。

$- 2 \cos (\frac{x}{2}) \sin (\frac{x}{2}) (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 3.3

項を簡約します。

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ステップ 3.3.1

$\frac{1}{2}$ と $- 2$ をまとめます。

$\frac{- 2}{2} \cos (\frac{x}{2}) \sin (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 3.3.2

$\frac{- 2}{2}$ と $\cos (\frac{x}{2})$ をまとめます。

$\frac{- 2 \cos (\frac{x}{2})}{2} \sin (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 3.3.3

$\frac{- 2 \cos (\frac{x}{2})}{2}$ と $\sin (\frac{x}{2})$ をまとめます。

$\frac{- 2 \cos (\frac{x}{2}) \sin (\frac{x}{2})}{2} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 3.3.4

$- 2$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.3.4.1

$2$ を $- 2 \cos (\frac{x}{2}) \sin (\frac{x}{2})$ で因数分解します。

$\frac{2 (- \cos (\frac{x}{2}) \sin (\frac{x}{2}))}{2} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 3.3.4.2

共通因数を約分します。

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ステップ 3.3.4.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\frac{2 (- \cos (\frac{x}{2}) \sin (\frac{x}{2}))}{2 (1)} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 3.3.4.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 (- \cos (\frac{x}{2}) \sin (\frac{x}{2}))}{2 \cdot 1} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 3.3.4.2.3

式を書き換えます。

$\frac{- \cos (\frac{x}{2}) \sin (\frac{x}{2})}{1} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 3.3.4.2.4

$- \cos (\frac{x}{2}) \sin (\frac{x}{2})$ を $1$ で割ります。

$- \cos (\frac{x}{2}) \sin (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- \cos (\frac{x}{2}) \sin (\frac{x}{2}) \cdot 1$

ステップ 3.5

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- \cos (\frac{x}{2}) \sin (\frac{x}{2})$

微分積分 例

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