微分積分例

$f (x) = \frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} - 6 x$

ステップ 1

関数の一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

総和則では、 $\frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} - 6 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$ です。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

ステップ 1.2

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

$\frac{1}{3}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{1}{3} x^{3}$ の微分係数は $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

ステップ 1.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

ステップ 1.2.3

$3$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$\frac{3}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

ステップ 1.2.4

$\frac{3}{3}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

ステップ 1.2.5

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.5.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

ステップ 1.2.5.2

$x^{2}$ を $1$ で割ります。

$x^{2} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

ステップ 1.3

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

$\frac{1}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{1}{2} x^{2}$ の微分係数は $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$x^{2} + \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

ステップ 1.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x^{2} + \frac{1}{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

ステップ 1.3.3

$2$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$x^{2} + \frac{2}{2} x + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

ステップ 1.3.4

$\frac{2}{2}$ と $x$ をまとめます。

$x^{2} + \frac{2 x}{2} + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

ステップ 1.3.5

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.5.1

共通因数を約分します。

$x^{2} + \frac{2 x}{2} + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

ステップ 1.3.5.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x^{2} + x + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

ステップ 1.4

$\frac{d}{d x} [- 6 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1

$- 6$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 6 x$ の微分係数は $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$x^{2} + x - 6 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.4.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x^{2} + x - 6 \cdot 1$

ステップ 1.4.3

$- 6$ に $1$ をかけます。

$x^{2} + x - 6$

ステップ 2

関数の二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

総和則では、 $x^{2} + x - 6$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ です。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 6)$

ステップ 2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 2 x + \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 6)$

ステップ 2.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 2 x + 1 + \frac{d}{d x} (- 6)$

ステップ 2.4

$- 6$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 6$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = 2 x + 1 + 0$

ステップ 2.5

$2 x + 1$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = 2 x + 1$

ステップ 3

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$x^{2} + x - 6 = 0$

ステップ 4

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

ステップ 4.1.2

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1

$\frac{1}{3}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{1}{3} x^{3}$ の微分係数は $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

ステップ 4.1.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

ステップ 4.1.2.3

$3$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$\frac{3}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

ステップ 4.1.2.4

$\frac{3}{3}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

ステップ 4.1.2.5

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.5.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

ステップ 4.1.2.5.2

$x^{2}$ を $1$ で割ります。

$x^{2} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

ステップ 4.1.3

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.3.1

$\frac{1}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{1}{2} x^{2}$ の微分係数は $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$x^{2} + \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

ステップ 4.1.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x^{2} + \frac{1}{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

ステップ 4.1.3.3

$2$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$x^{2} + \frac{2}{2} x + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

ステップ 4.1.3.4

$\frac{2}{2}$ と $x$ をまとめます。

$x^{2} + \frac{2 x}{2} + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

ステップ 4.1.3.5

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.3.5.1

共通因数を約分します。

$x^{2} + \frac{2 x}{2} + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

ステップ 4.1.3.5.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x^{2} + x + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

ステップ 4.1.4

$\frac{d}{d x} [- 6 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.4.1

$- 6$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 6 x$ の微分係数は $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$x^{2} + x - 6 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 4.1.4.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x^{2} + x - 6 \cdot 1$

ステップ 4.1.4.3

$- 6$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = x^{2} + x - 6$

ステップ 4.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $x^{2} + x - 6$ です。

$x^{2} + x - 6$

ステップ 5

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $x^{2} + x - 6 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$x^{2} + x - 6 = 0$

ステップ 5.2

たすき掛けを利用して $x^{2} + x - 6$ を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 6$ で、その和が $1$ です。

$- 2, 3$

ステップ 5.2.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$(x - 2) (x + 3) = 0$

ステップ 5.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x - 2 = 0$

$x + 3 = 0$

ステップ 5.4

$x - 2$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.1

$x - 2$ が $0$ に等しいとします。

$x - 2 = 0$

ステップ 5.4.2

方程式の両辺に $2$ を足します。

$x = 2$

ステップ 5.5

$x + 3$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.1

$x + 3$ が $0$ に等しいとします。

$x + 3 = 0$

ステップ 5.5.2

方程式の両辺から $3$ を引きます。

$x = - 3$

ステップ 5.6

最終解は $(x - 2) (x + 3) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 2, - 3$

ステップ 6

微分係数が未定義になる値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 7

値を求める臨界点です。

$x = 2, - 3$

ステップ 8

$x = 2$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$2 (2) + 1$

ステップ 9

二次導関数の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1

$2$ に $2$ をかけます。

$4 + 1$

ステップ 9.2

$4$ と $1$ をたし算します。

$5$

ステップ 10

$x = 2$ は二次導関数の値が正であるため、極小値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = 2$ は極小値です

ステップ 11

$x = 2$ のときy値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1

式の変数 $x$ を $2$ で置換えます。

$f (2) = \frac{1}{3} \cdot {(2)}^{3} + \frac{1}{2} \cdot {(2)}^{2} - 6 \cdot 2$

ステップ 11.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.1.1

$2$ を $3$ 乗します。

$f (2) = \frac{1}{3} \cdot 8 + \frac{1}{2} \cdot {(2)}^{2} - 6 \cdot 2$

ステップ 11.2.1.2

$\frac{1}{3}$ と $8$ をまとめます。

$f (2) = \frac{8}{3} + \frac{1}{2} \cdot {(2)}^{2} - 6 \cdot 2$

ステップ 11.2.1.3

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.1.3.1

$2$ を ${(2)}^{2}$ で因数分解します。

$f (2) = \frac{8}{3} + \frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 2) - 6 \cdot 2$

ステップ 11.2.1.3.2

共通因数を約分します。

$f (2) = \frac{8}{3} + \frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 2) - 6 \cdot 2$

ステップ 11.2.1.3.3

式を書き換えます。

$f (2) = \frac{8}{3} + 2 - 6 \cdot 2$

ステップ 11.2.1.4

$- 6$ に $2$ をかけます。

$f (2) = \frac{8}{3} + 2 - 12$

ステップ 11.2.2

公分母を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.2.1

$2$ を分母 $1$ をもつ分数で書きます。

$f (2) = \frac{8}{3} + \frac{2}{1} - 12$

ステップ 11.2.2.2

$\frac{2}{1}$ に $\frac{3}{3}$ をかけます。

$f (2) = \frac{8}{3} + \frac{2}{1} \cdot \frac{3}{3} - 12$

ステップ 11.2.2.3

$\frac{2}{1}$ に $\frac{3}{3}$ をかけます。

$f (2) = \frac{8}{3} + \frac{2 \cdot 3}{3} - 12$

ステップ 11.2.2.4

$- 12$ を分母 $1$ をもつ分数で書きます。

$f (2) = \frac{8}{3} + \frac{2 \cdot 3}{3} + \frac{- 12}{1}$

ステップ 11.2.2.5

$\frac{- 12}{1}$ に $\frac{3}{3}$ をかけます。

$f (2) = \frac{8}{3} + \frac{2 \cdot 3}{3} + \frac{- 12}{1} \cdot \frac{3}{3}$

ステップ 11.2.2.6

$\frac{- 12}{1}$ に $\frac{3}{3}$ をかけます。

$f (2) = \frac{8}{3} + \frac{2 \cdot 3}{3} + \frac{- 12 \cdot 3}{3}$

ステップ 11.2.3

公分母の分子をまとめます。

$f (2) = \frac{8 + 2 \cdot 3 - 12 \cdot 3}{3}$

ステップ 11.2.4

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.4.1

$2$ に $3$ をかけます。

$f (2) = \frac{8 + 6 - 12 \cdot 3}{3}$

ステップ 11.2.4.2

$- 12$ に $3$ をかけます。

$f (2) = \frac{8 + 6 - 36}{3}$

ステップ 11.2.5

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.5.1

$8$ と $6$ をたし算します。

$f (2) = \frac{14 - 36}{3}$

ステップ 11.2.5.2

$14$ から $36$ を引きます。

$f (2) = \frac{- 22}{3}$

ステップ 11.2.5.3

分数の前に負数を移動させます。

$f (2) = - \frac{22}{3}$

ステップ 11.2.6

最終的な答えは $- \frac{22}{3}$ です。

$y = - \frac{22}{3}$

ステップ 12

$x = - 3$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$2 (- 3) + 1$

ステップ 13

二次導関数の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1

$2$ に $- 3$ をかけます。

$- 6 + 1$

ステップ 13.2

$- 6$ と $1$ をたし算します。

$- 5$

ステップ 14

$x = - 3$ は二次導関数の値が負であるため、極大値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = - 3$ は極大値です

ステップ 15

$x = - 3$ のときy値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.1

式の変数 $x$ を $- 3$ で置換えます。

$f (- 3) = \frac{1}{3} \cdot {(- 3)}^{3} + \frac{1}{2} \cdot {(- 3)}^{2} - 6 \cdot - 3$

ステップ 15.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.1.1

$- 3$ を $3$ 乗します。

$f (- 3) = \frac{1}{3} \cdot - 27 + \frac{1}{2} \cdot {(- 3)}^{2} - 6 \cdot - 3$

ステップ 15.2.1.2

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.1.2.1

$3$ を $- 27$ で因数分解します。

$f (- 3) = \frac{1}{3} \cdot (3 (- 9)) + \frac{1}{2} \cdot {(- 3)}^{2} - 6 \cdot - 3$

ステップ 15.2.1.2.2

共通因数を約分します。

$f (- 3) = \frac{1}{3} \cdot (3 \cdot - 9) + \frac{1}{2} \cdot {(- 3)}^{2} - 6 \cdot - 3$

ステップ 15.2.1.2.3

式を書き換えます。

$f (- 3) = - 9 + \frac{1}{2} \cdot {(- 3)}^{2} - 6 \cdot - 3$

ステップ 15.2.1.3

$- 3$ を $2$ 乗します。

$f (- 3) = - 9 + \frac{1}{2} \cdot 9 - 6 \cdot - 3$

ステップ 15.2.1.4

$\frac{1}{2}$ と $9$ をまとめます。

$f (- 3) = - 9 + \frac{9}{2} - 6 \cdot - 3$

ステップ 15.2.1.5

$- 6$ に $- 3$ をかけます。

$f (- 3) = - 9 + \frac{9}{2} + 18$

ステップ 15.2.2

公分母を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.2.1

$- 9$ を分母 $1$ をもつ分数で書きます。

$f (- 3) = \frac{- 9}{1} + \frac{9}{2} + 18$

ステップ 15.2.2.2

$\frac{- 9}{1}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$f (- 3) = \frac{- 9}{1} \cdot \frac{2}{2} + \frac{9}{2} + 18$

ステップ 15.2.2.3

$\frac{- 9}{1}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$f (- 3) = \frac{- 9 \cdot 2}{2} + \frac{9}{2} + 18$

ステップ 15.2.2.4

$18$ を分母 $1$ をもつ分数で書きます。

$f (- 3) = \frac{- 9 \cdot 2}{2} + \frac{9}{2} + \frac{18}{1}$

ステップ 15.2.2.5

$\frac{18}{1}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$f (- 3) = \frac{- 9 \cdot 2}{2} + \frac{9}{2} + \frac{18}{1} \cdot \frac{2}{2}$

ステップ 15.2.2.6

$\frac{18}{1}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$f (- 3) = \frac{- 9 \cdot 2}{2} + \frac{9}{2} + \frac{18 \cdot 2}{2}$

ステップ 15.2.3

公分母の分子をまとめます。

$f (- 3) = \frac{- 9 \cdot 2 + 9 + 18 \cdot 2}{2}$

ステップ 15.2.4

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.4.1

$- 9$ に $2$ をかけます。

$f (- 3) = \frac{- 18 + 9 + 18 \cdot 2}{2}$

ステップ 15.2.4.2

$18$ に $2$ をかけます。

$f (- 3) = \frac{- 18 + 9 + 36}{2}$

ステップ 15.2.5

数を加えて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.5.1

$- 18$ と $9$ をたし算します。

$f (- 3) = \frac{- 9 + 36}{2}$

ステップ 15.2.5.2

$- 9$ と $36$ をたし算します。

$f (- 3) = \frac{27}{2}$

ステップ 15.2.6

最終的な答えは $\frac{27}{2}$ です。

$y = \frac{27}{2}$

ステップ 16

$f (x) = \frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} - 6 x$ の極値です。

$(2, - \frac{22}{3})$ は極小値です

$(- 3, \frac{27}{2})$ は極大値です

ステップ 17

微分積分 例

微分積分例