微分積分例

$\ln (x) x - x$

ステップ 1

総和則では、 $\ln (x) x - x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\ln (x) x] + \frac{d}{d x} [- x]$ です。

$\frac{d}{d x} [\ln (x) x] + \frac{d}{d x} [- x]$

ステップ 2

$\frac{d}{d x} [\ln (x) x]$ の値を求めます。

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ステップ 2.1

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$\ln (x) \frac{d}{d x} [x] + x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [- x]$

ステップ 2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\ln (x) \cdot 1 + x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [- x]$

ステップ 2.3

$x$ に関する $\ln (x)$ の微分係数は $\frac{1}{x}$ です。

$\ln (x) \cdot 1 + x \frac{1}{x} + \frac{d}{d x} [- x]$

ステップ 2.4

$\ln (x)$ に $1$ をかけます。

$\ln (x) + x \frac{1}{x} + \frac{d}{d x} [- x]$

ステップ 2.5

$x$ と $\frac{1}{x}$ をまとめます。

$\ln (x) + \frac{x}{x} + \frac{d}{d x} [- x]$

ステップ 2.6

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.6.1

共通因数を約分します。

$\ln (x) + \frac{x}{x} + \frac{d}{d x} [- x]$

ステップ 2.6.2

式を書き換えます。

$\ln (x) + 1 + \frac{d}{d x} [- x]$

ステップ 3

$\frac{d}{d x} [- x]$ の値を求めます。

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ステップ 3.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\ln (x) + 1 - \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\ln (x) + 1 - 1 \cdot 1$

ステップ 3.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\ln (x) + 1 - 1$

ステップ 4

項をまとめます。

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ステップ 4.1

$1$ から $1$ を引きます。

$\ln (x) + 0$

ステップ 4.2

$\ln (x)$ と $0$ をたし算します。

$\ln (x)$

微分積分 例

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