微分積分例

$\sqrt{\frac{1}{x}}$

ステップ 1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{\frac{1}{x}}$ を ${(\frac{1}{x})}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [{(\frac{1}{x})}^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 2

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ および $g (x) = \frac{1}{x}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\frac{1}{x}$ とします。

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

ステップ 2.2

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

ステップ 2.3

$u$ のすべての発生を $\frac{1}{x}$ で置き換えます。

$\frac{1}{2} {(\frac{1}{x})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

ステップ 3

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{1}{2} {(\frac{1}{x})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

ステップ 4

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{2} {(\frac{1}{x})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

ステップ 5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{2} {(\frac{1}{x})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

ステップ 6

分子を簡約します。

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ステップ 6.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{2} {(\frac{1}{x})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

ステップ 6.2

$1$ から $2$ を引きます。

$\frac{1}{2} {(\frac{1}{x})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

ステップ 7

式を簡約します。

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ステップ 7.1

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{2} {(\frac{1}{x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

ステップ 7.2

$\frac{1}{x}$ を $x^{- 1}$ に書き換えます。

$\frac{1}{2} {(\frac{1}{x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

ステップ 8

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{2} {(\frac{1}{x})}^{- \frac{1}{2}} (- x^{- 2})$

ステップ 9

分数をまとめます。

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ステップ 9.1

$\frac{1}{2}$ と $x^{- 2}$ をまとめます。

${(\frac{1}{x})}^{- \frac{1}{2}} (- \frac{x^{- 2}}{2})$

ステップ 9.2

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $x^{- 2}$ を分母に移動させます。

${(\frac{1}{x})}^{- \frac{1}{2}} (- \frac{1}{2 x^{2}})$

ステップ 10

簡約します。

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ステップ 10.1

底を逆数に書き換えて、指数の符号を変更します。

$x^{\frac{1}{2}} (- \frac{1}{2 x^{2}})$

ステップ 10.2

項をまとめます。

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ステップ 10.2.1

$x^{\frac{1}{2}}$ と $\frac{1}{2 x^{2}}$ をまとめます。

$- \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{2}}$

ステップ 10.2.2

負の指数法則 $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ を利用して $x^{\frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$- \frac{1}{2 x^{2} x^{- \frac{1}{2}}}$

ステップ 10.2.3

指数を足して $x^{2}$ に $x^{- \frac{1}{2}}$ を掛けます。

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ステップ 10.2.3.1

$x^{- \frac{1}{2}}$ を移動させます。

$- \frac{1}{2 (x^{- \frac{1}{2}} x^{2})}$

ステップ 10.2.3.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- \frac{1}{2 x^{- \frac{1}{2} + 2}}$

ステップ 10.2.3.3

$2$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$- \frac{1}{2 x^{- \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2}}}$

ステップ 10.2.3.4

$2$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$- \frac{1}{2 x^{- \frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2}}}$

ステップ 10.2.3.5

公分母の分子をまとめます。

$- \frac{1}{2 x^{\frac{- 1 + 2 \cdot 2}{2}}}$

ステップ 10.2.3.6

分子を簡約します。

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ステップ 10.2.3.6.1

$2$ に $2$ をかけます。

$- \frac{1}{2 x^{\frac{- 1 + 4}{2}}}$

ステップ 10.2.3.6.2

$- 1$ と $4$ をたし算します。

$- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

微分積分 例

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