微分積分例

$\frac{3 x - 1}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 1

$\frac{3 x - 1}{{(x - 1)}^{2}}$ を関数で書きます。

$f (x) = \frac{3 x - 1}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 2

関数 $F (x)$ は、微分係数 $f (x)$ の不定積分を求めることで求められます。

$F (x) = \int f (x) d x$

ステップ 3

積分を設定し解きます。

$F (x) = \int \frac{3 x - 1}{{(x - 1)}^{2}} d x$

ステップ 4

部分分数分解を利用して分数を書きます。

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ステップ 4.1

分数を分解し、公分母を掛けます。

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ステップ 4.1.1

分母の各因数に対して、その因数を分母として、未知の値を分子として利用し、新たな分数を作成します。分母の因数は線形なので、その場所 $A$ には1個の変数を置きます。

$\frac{A}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 4.1.2

分母の各因数に対して、その因数を分母として、未知の値を分子として利用し、新たな分数を作成します。分母の因数は線形なので、その場所 $B$ には1個の変数を置きます。

$\frac{A}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{B}{x - 1}$

ステップ 4.1.3

方程式の各分数に元の式の分母を掛けます。この場合、分母は ${(x - 1)}^{2}$ です。

$\frac{(3 x - 1) {(x - 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{2}} = \frac{(A) {(x - 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{(B) {(x - 1)}^{2}}{x - 1}$

ステップ 4.1.4

${(x - 1)}^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.1.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{(3 x - 1) {(x - 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{2}} = \frac{(A) {(x - 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{(B) {(x - 1)}^{2}}{x - 1}$

ステップ 4.1.4.2

$3 x - 1$ を $1$ で割ります。

$3 x - 1 = \frac{(A) {(x - 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{(B) {(x - 1)}^{2}}{x - 1}$

ステップ 4.1.5

各項を簡約します。

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ステップ 4.1.5.1

${(x - 1)}^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.1.5.1.1

共通因数を約分します。

$3 x - 1 = \frac{A {(x - 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{(B) {(x - 1)}^{2}}{x - 1}$

ステップ 4.1.5.1.2

$A$ を $1$ で割ります。

$3 x - 1 = A + \frac{(B) {(x - 1)}^{2}}{x - 1}$

ステップ 4.1.5.2

${(x - 1)}^{2}$ と $x - 1$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.1.5.2.1

$x - 1$ を $(B) {(x - 1)}^{2}$ で因数分解します。

$3 x - 1 = A + \frac{(x - 1) (B (x - 1))}{x - 1}$

ステップ 4.1.5.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 4.1.5.2.2.1

$1$ を掛けます。

$3 x - 1 = A + \frac{(x - 1) (B (x - 1))}{(x - 1) \cdot 1}$

ステップ 4.1.5.2.2.2

共通因数を約分します。

$3 x - 1 = A + \frac{(x - 1) (B (x - 1))}{(x - 1) \cdot 1}$

ステップ 4.1.5.2.2.3

式を書き換えます。

$3 x - 1 = A + \frac{B (x - 1)}{1}$

ステップ 4.1.5.2.2.4

$B (x - 1)$ を $1$ で割ります。

$3 x - 1 = A + B (x - 1)$

ステップ 4.1.5.3

分配則を当てはめます。

$3 x - 1 = A + B x + B \cdot - 1$

ステップ 4.1.5.4

$- 1$ を $B$ の左に移動させます。

$3 x - 1 = A + B x - 1 \cdot B$

ステップ 4.1.5.5

$- 1 B$ を $- B$ に書き換えます。

$3 x - 1 = A + B x - B$

ステップ 4.1.6

$A$ と $B x$ を並べ替えます。

$3 x - 1 = B x + A - B$

ステップ 4.2

部分分数の変数について方程式を作成し、それらを使って連立方程式を立てます。

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ステップ 4.2.1

式の両辺から $x$ の係数を等しくし、部分分数の変数の方程式を作成します。方程式を等しくするために、方程式の両辺の等価係数は等しくなければなりません。

$3 = B$

ステップ 4.2.2

式の両辺から $x$ を含まない項の係数を等しくし、部分分数の変数の方程式を作成します。方程式を等しくするために、方程式の両辺の等価係数は等しくなければなりません。

$- 1 = A - 1 B$

ステップ 4.2.3

連立方程式を立て、部分分数の係数を求めます。

$3 = B$

$- 1 = A - 1 B$

$3 = B$

$- 1 = A - 1 B$

ステップ 4.3

連立方程式を解きます。

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ステップ 4.3.1

方程式を $B = 3$ として書き換えます。

$B = 3$

$- 1 = A - 1 B$

ステップ 4.3.2

各方程式の $B$ のすべての発生を $3$ で置き換えます。

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ステップ 4.3.2.1

$- 1 = A - 1 B$ の $B$ のすべての発生を $3$ で置き換えます。

$- 1 = A - 1 \cdot 3$

$B = 3$

ステップ 4.3.2.2

右辺を簡約します。

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ステップ 4.3.2.2.1

$- 1$ に $3$ をかけます。

$- 1 = A - 3$

$B = 3$

$- 1 = A - 3$

$B = 3$

$- 1 = A - 3$

$B = 3$

ステップ 4.3.3

$- 1 = A - 3$ の $A$ について解きます。

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ステップ 4.3.3.1

方程式を $A - 3 = - 1$ として書き換えます。

$A - 3 = - 1$

$B = 3$

ステップ 4.3.3.2

$A$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 4.3.3.2.1

方程式の両辺に $3$ を足します。

$A = - 1 + 3$

$B = 3$

ステップ 4.3.3.2.2

$- 1$ と $3$ をたし算します。

$A = 2$

$B = 3$

$A = 2$

$B = 3$

$A = 2$

$B = 3$

ステップ 4.3.4

連立方程式を解きます。

$A = 2 B = 3$

ステップ 4.3.5

すべての解をまとめます。

$A = 2, B = 3$

ステップ 4.4

$\frac{A}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{B}{x - 1}$ の各部分分数の係数を $A$ と $B$ で求めた値で置き換えます。

$\frac{2}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{3}{x - 1}$

ステップ 4.5

式から0を削除します。

$\int \frac{2}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{3}{x - 1} d x$

ステップ 5

単一積分を複数積分に分割します。

$\int \frac{2}{{(x - 1)}^{2}} d x + \int \frac{3}{x - 1} d x$

ステップ 6

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$2 \int \frac{1}{{(x - 1)}^{2}} d x + \int \frac{3}{x - 1} d x$

ステップ 7

$u_{1} = x - 1$ とします。次に $d u_{1} = d x$ 。 $u_{1}$ と $d$ $u_{1}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 7.1

$u_{1} = x - 1$ とします。 $\frac{d u_{1}}{d x}$ を求めます。

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ステップ 7.1.1

$x - 1$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

ステップ 7.1.2

総和則では、 $x - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 7.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 7.1.4

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$1 + 0$

ステップ 7.1.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$1$

ステップ 7.2

$u_{1}$ と $d u_{1}$ を利用して問題を書き換えます。

$2 \int \frac{1}{{u_{1}}^{2}} d u_{1} + \int \frac{3}{x - 1} d x$

ステップ 8

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 8.1

${u_{1}}^{2}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$2 \int {({u_{1}}^{2})}^{- 1} d u_{1} + \int \frac{3}{x - 1} d x$

ステップ 8.2

${({u_{1}}^{2})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 8.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$2 \int {u_{1}}^{2 \cdot - 1} d u_{1} + \int \frac{3}{x - 1} d x$

ステップ 8.2.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$2 \int {u_{1}}^{- 2} d u_{1} + \int \frac{3}{x - 1} d x$

ステップ 9

べき乗則では、 ${u_{1}}^{- 2}$ の $u_{1}$ に関する積分は $- {u_{1}}^{- 1}$ です。

$2 (- {u_{1}}^{- 1} + C) + \int \frac{3}{x - 1} d x$

ステップ 10

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $3$ を積分の外に移動させます。

$2 (- {u_{1}}^{- 1} + C) + 3 \int \frac{1}{x - 1} d x$

ステップ 11

$u_{2} = x - 1$ とします。次に $d u_{2} = d x$ 。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 11.1

$u_{2} = x - 1$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d x}$ を求めます。

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ステップ 11.1.1

$x - 1$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

ステップ 11.1.2

総和則では、 $x - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 11.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 11.1.4

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$1 + 0$

ステップ 11.1.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$1$

ステップ 11.2

$u_{2}$ と $d u_{2}$ を利用して問題を書き換えます。

$2 (- {u_{1}}^{- 1} + C) + 3 \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

ステップ 12

$\frac{1}{u_{2}}$ の $u_{2}$ に関する積分は $\ln (| u_{2} |)$ です。

$2 (- {u_{1}}^{- 1} + C) + 3 (\ln (| u_{2} |) + C)$

ステップ 13

簡約します。

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ステップ 13.1

簡約します。

$2 (- \frac{1}{u_{1}}) + 3 \ln (| u_{2} |) + C$

ステップ 13.2

簡約します。

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ステップ 13.2.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$- 2 \frac{1}{u_{1}} + 3 \ln (| u_{2} |) + C$

ステップ 13.2.2

$- 2$ と $\frac{1}{u_{1}}$ をまとめます。

$\frac{- 2}{u_{1}} + 3 \ln (| u_{2} |) + C$

ステップ 13.2.3

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{2}{u_{1}} + 3 \ln (| u_{2} |) + C$

ステップ 14

各積分に置換変数を戻し入れます。

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ステップ 14.1

$u_{1}$ のすべての発生を $x - 1$ で置き換えます。

$- \frac{2}{x - 1} + 3 \ln (| u_{2} |) + C$

ステップ 14.2

$u_{2}$ のすべての発生を $x - 1$ で置き換えます。

$- \frac{2}{x - 1} + 3 \ln (| x - 1 |) + C$

ステップ 15

答えは関数 $f (x) = \frac{3 x - 1}{{(x - 1)}^{2}}$ の不定積分です。

$F (x) =$ $- \frac{2}{x - 1} + 3 \ln (| x - 1 |) + C$

微分積分 例

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