微分積分例

$f (x) = x \sqrt{x + 1}$

ステップ 1

関数 $F (x)$ は、微分係数 $f (x)$ の不定積分を求めることで求められます。

$F (x) = \int f (x) d x$

ステップ 2

積分を設定し解きます。

$F (x) = \int x \sqrt{x + 1} d x$

ステップ 3

$u = x$ と $d v = \sqrt{x + 1}$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$x (\frac{2}{3} {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}) - \int \frac{2}{3} {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} d x$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

$\frac{2}{3}$ と ${(x + 1)}^{\frac{3}{2}}$ をまとめます。

$x \frac{2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{2}{3} {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} d x$

ステップ 4.2

$x$ と $\frac{2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3}$ をまとめます。

$\frac{x (2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \int \frac{2}{3} {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} d x$

ステップ 5

$\frac{2}{3}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{2}{3}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{x (2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - (\frac{2}{3} \int {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} d x)$

ステップ 6

$u = x + 1$ とします。次に $d u = d x$ 。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 6.1

$u = x + 1$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 6.1.1

$x + 1$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

ステップ 6.1.2

総和則では、 $x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 6.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 6.1.4

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$1 + 0$

ステップ 6.1.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$1$

ステップ 6.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\frac{x (2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} \int u^{\frac{3}{2}} d u$

ステップ 7

べき乗則では、 $u^{\frac{3}{2}}$ の $u$ に関する積分は $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ です。

$\frac{x (2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C)$

ステップ 8

簡約します。

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ステップ 8.1

$\frac{x (2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C)$ を $\frac{2}{3} x {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C$ に書き換えます。

$\frac{2}{3} x {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C$

ステップ 8.2

簡約します。

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ステップ 8.2.1

$\frac{2}{3}$ と $x$ をまとめます。

$\frac{2 x}{3} {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C$

ステップ 8.2.2

$\frac{2 x}{3}$ と ${(x + 1)}^{\frac{3}{2}}$ をまとめます。

$\frac{2 x {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C$

ステップ 8.2.3

$\frac{2}{5}$ に $\frac{2}{3}$ をかけます。

$\frac{2 x {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 2}{5 \cdot 3} u^{\frac{5}{2}} + C$

ステップ 8.2.4

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{2 x {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{4}{5 \cdot 3} u^{\frac{5}{2}} + C$

ステップ 8.2.5

$5$ に $3$ をかけます。

$\frac{2 x {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{4}{15} u^{\frac{5}{2}} + C$

ステップ 8.2.6

$- \frac{4}{15} u^{\frac{5}{2}}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$\frac{2 x {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{4}{15} u^{\frac{5}{2}} \cdot \frac{3}{3} + C$

ステップ 8.2.7

$- \frac{4}{15} u^{\frac{5}{2}}$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$\frac{2 x {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{- \frac{4}{15} u^{\frac{5}{2}} \cdot 3}{3} + C$

ステップ 8.2.8

公分母の分子をまとめます。

$\frac{2 x {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} - \frac{4}{15} u^{\frac{5}{2}} \cdot 3}{3} + C$

ステップ 8.2.9

$u^{\frac{5}{2}}$ と $\frac{4}{15}$ をまとめます。

$\frac{2 x {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} - \frac{u^{\frac{5}{2}} \cdot 4}{15} \cdot 3}{3} + C$

ステップ 8.2.10

$3$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{2 x {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} - 3 \frac{u^{\frac{5}{2}} \cdot 4}{15}}{3} + C$

ステップ 8.2.11

$- 3$ と $\frac{u^{\frac{5}{2}} \cdot 4}{15}$ をまとめます。

$\frac{2 x {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- 3 (u^{\frac{5}{2}} \cdot 4)}{15}}{3} + C$

ステップ 8.2.12

$4$ に $- 3$ をかけます。

$\frac{2 x {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- 12 u^{\frac{5}{2}}}{15}}{3} + C$

ステップ 8.2.13

$3$ を $- 12 u^{\frac{5}{2}}$ で因数分解します。

$\frac{2 x {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} + \frac{3 (- 4 u^{\frac{5}{2}})}{15}}{3} + C$

ステップ 8.2.14

共通因数を約分します。

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ステップ 8.2.14.1

$3$ を $15$ で因数分解します。

$\frac{2 x {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} + \frac{3 (- 4 u^{\frac{5}{2}})}{3 (5)}}{3} + C$

ステップ 8.2.14.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 x {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} + \frac{3 (- 4 u^{\frac{5}{2}})}{3 \cdot 5}}{3} + C$

ステップ 8.2.14.3

式を書き換えます。

$\frac{2 x {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- 4 u^{\frac{5}{2}}}{5}}{3} + C$

ステップ 8.2.15

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{2 x {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} - \frac{4 u^{\frac{5}{2}}}{5}}{3} + C$

ステップ 8.2.16

$2 x {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{5}{5}$ を掛けます。

$\frac{2 x {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} \cdot \frac{5}{5} - \frac{4 u^{\frac{5}{2}}}{5}}{3} + C$

ステップ 8.2.17

$2 x {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}$ と $\frac{5}{5}$ をまとめます。

$\frac{\frac{2 x {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} \cdot 5}{5} - \frac{4 u^{\frac{5}{2}}}{5}}{3} + C$

ステップ 8.2.18

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\frac{2 x {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} \cdot 5 - 4 u^{\frac{5}{2}}}{5}}{3} + C$

ステップ 8.2.19

$5$ に $2$ をかけます。

$\frac{\frac{10 x {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} - 4 u^{\frac{5}{2}}}{5}}{3} + C$

ステップ 8.2.20

$\frac{\frac{10 x {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} - 4 u^{\frac{5}{2}}}{5}}{3}$ を積として書き換えます。

$\frac{10 x {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} - 4 u^{\frac{5}{2}}}{5} \cdot \frac{1}{3} + C$

ステップ 8.2.21

$\frac{10 x {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} - 4 u^{\frac{5}{2}}}{5}$ に $\frac{1}{3}$ をかけます。

$\frac{10 x {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} - 4 u^{\frac{5}{2}}}{5 \cdot 3} + C$

ステップ 8.2.22

$5$ に $3$ をかけます。

$\frac{10 x {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} - 4 u^{\frac{5}{2}}}{15} + C$

ステップ 9

$u$ のすべての発生を $x + 1$ で置き換えます。

$\frac{10 x {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} - 4 {(x + 1)}^{\frac{5}{2}}}{15} + C$

ステップ 10

項を並べ替えます。

$\frac{1}{15} (10 x {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} - 4 {(x + 1)}^{\frac{5}{2}}) + C$

ステップ 11

答えは関数 $f (x) = x \sqrt{x + 1}$ の不定積分です。

$F (x) =$ $\frac{1}{15} (10 x {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} - 4 {(x + 1)}^{\frac{5}{2}}) + C$

微分積分 例

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