微分積分例

$\frac{3 x^{3}}{2 x^{3} - 1}$

ステップ 1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{3 x^{3}}{2 x^{3} - 1}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{2 x^{3} - 1}]$ です。

$3 \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{2 x^{3} - 1}]$

ステップ 2

$f (x) = x^{3}$ および $g (x) = 2 x^{3} - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$3 \frac{(2 x^{3} - 1) \frac{d}{d x} [x^{3}] - x^{3} \frac{d}{d x} [2 x^{3} - 1]}{{(2 x^{3} - 1)}^{2}}$

ステップ 3

微分します。

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ステップ 3.1

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 \frac{(2 x^{3} - 1) (3 x^{2}) - x^{3} \frac{d}{d x} [2 x^{3} - 1]}{{(2 x^{3} - 1)}^{2}}$

ステップ 3.2

$3$ を $2 x^{3} - 1$ の左に移動させます。

$3 \frac{3 \cdot (2 x^{3} - 1) x^{2} - x^{3} \frac{d}{d x} [2 x^{3} - 1]}{{(2 x^{3} - 1)}^{2}}$

ステップ 3.3

総和則では、 $2 x^{3} - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$3 \frac{3 (2 x^{3} - 1) x^{2} - x^{3} (\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(2 x^{3} - 1)}^{2}}$

ステップ 3.4

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x^{3}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$3 \frac{3 (2 x^{3} - 1) x^{2} - x^{3} (2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(2 x^{3} - 1)}^{2}}$

ステップ 3.5

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 \frac{3 (2 x^{3} - 1) x^{2} - x^{3} (2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(2 x^{3} - 1)}^{2}}$

ステップ 3.6

$3$ に $2$ をかけます。

$3 \frac{3 (2 x^{3} - 1) x^{2} - x^{3} (6 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(2 x^{3} - 1)}^{2}}$

ステップ 3.7

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$3 \frac{3 (2 x^{3} - 1) x^{2} - x^{3} (6 x^{2} + 0)}{{(2 x^{3} - 1)}^{2}}$

ステップ 3.8

式を簡約します。

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ステップ 3.8.1

$6 x^{2}$ と $0$ をたし算します。

$3 \frac{3 (2 x^{3} - 1) x^{2} - x^{3} (6 x^{2})}{{(2 x^{3} - 1)}^{2}}$

ステップ 3.8.2

$6$ に $- 1$ をかけます。

$3 \frac{3 (2 x^{3} - 1) x^{2} - 6 x^{3} x^{2}}{{(2 x^{3} - 1)}^{2}}$

ステップ 4

指数を足して $x^{3}$ に $x^{2}$ を掛けます。

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ステップ 4.1

$x^{2}$ を移動させます。

$3 \frac{3 (2 x^{3} - 1) x^{2} - 6 (x^{2} x^{3})}{{(2 x^{3} - 1)}^{2}}$

ステップ 4.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$3 \frac{3 (2 x^{3} - 1) x^{2} - 6 x^{2 + 3}}{{(2 x^{3} - 1)}^{2}}$

ステップ 4.3

$2$ と $3$ をたし算します。

$3 \frac{3 (2 x^{3} - 1) x^{2} - 6 x^{5}}{{(2 x^{3} - 1)}^{2}}$

ステップ 5

$3$ と $\frac{3 (2 x^{3} - 1) x^{2} - 6 x^{5}}{{(2 x^{3} - 1)}^{2}}$ をまとめます。

$\frac{3 (3 (2 x^{3} - 1) x^{2} - 6 x^{5})}{{(2 x^{3} - 1)}^{2}}$

ステップ 6

簡約します。

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ステップ 6.1

分配則を当てはめます。

$\frac{3 ((3 (2 x^{3}) + 3 \cdot - 1) x^{2} - 6 x^{5})}{{(2 x^{3} - 1)}^{2}}$

ステップ 6.2

分配則を当てはめます。

$\frac{3 (3 (2 x^{3}) x^{2} + 3 \cdot - 1 x^{2} - 6 x^{5})}{{(2 x^{3} - 1)}^{2}}$

ステップ 6.3

分配則を当てはめます。

$\frac{3 (3 (2 x^{3}) x^{2}) + 3 (3 \cdot - 1 x^{2}) + 3 (- 6 x^{5})}{{(2 x^{3} - 1)}^{2}}$

ステップ 6.4

分子を簡約します。

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ステップ 6.4.1

各項を簡約します。

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ステップ 6.4.1.1

指数を足して $x^{3}$ に $x^{2}$ を掛けます。

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ステップ 6.4.1.1.1

$x^{2}$ を移動させます。

$\frac{3 (3 (2 (x^{2} x^{3}))) + 3 (3 \cdot - 1 x^{2}) + 3 (- 6 x^{5})}{{(2 x^{3} - 1)}^{2}}$

ステップ 6.4.1.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{3 (3 (2 x^{2 + 3})) + 3 (3 \cdot - 1 x^{2}) + 3 (- 6 x^{5})}{{(2 x^{3} - 1)}^{2}}$

ステップ 6.4.1.1.3

$2$ と $3$ をたし算します。

$\frac{3 (3 (2 x^{5})) + 3 (3 \cdot - 1 x^{2}) + 3 (- 6 x^{5})}{{(2 x^{3} - 1)}^{2}}$

ステップ 6.4.1.2

$2$ に $3$ をかけます。

$\frac{3 (6 x^{5}) + 3 (3 \cdot - 1 x^{2}) + 3 (- 6 x^{5})}{{(2 x^{3} - 1)}^{2}}$

ステップ 6.4.1.3

$6$ に $3$ をかけます。

$\frac{18 x^{5} + 3 (3 \cdot - 1 x^{2}) + 3 (- 6 x^{5})}{{(2 x^{3} - 1)}^{2}}$

ステップ 6.4.1.4

$3$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{18 x^{5} + 3 (- 3 x^{2}) + 3 (- 6 x^{5})}{{(2 x^{3} - 1)}^{2}}$

ステップ 6.4.1.5

$- 3$ に $3$ をかけます。

$\frac{18 x^{5} - 9 x^{2} + 3 (- 6 x^{5})}{{(2 x^{3} - 1)}^{2}}$

ステップ 6.4.1.6

$- 6$ に $3$ をかけます。

$\frac{18 x^{5} - 9 x^{2} - 18 x^{5}}{{(2 x^{3} - 1)}^{2}}$

ステップ 6.4.2

$18 x^{5} - 9 x^{2} - 18 x^{5}$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 6.4.2.1

$18 x^{5}$ から $18 x^{5}$ を引きます。

$\frac{- 9 x^{2} + 0}{{(2 x^{3} - 1)}^{2}}$

ステップ 6.4.2.2

$- 9 x^{2}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{- 9 x^{2}}{{(2 x^{3} - 1)}^{2}}$

ステップ 6.5

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{9 x^{2}}{{(2 x^{3} - 1)}^{2}}$

微分積分 例

微分積分例