微分積分例

$t^{2} \ln^{4} (t)$

ステップ 1

$f (t) = t^{2}$ および $g (t) = \ln^{4} (t)$ のとき、 $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ は $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$t^{2} \frac{d}{d t} [\ln^{4} (t)] + \ln^{4} (t) \frac{d}{d t} [t^{2}]$

ステップ 2

$f (t) = t^{4}$ および $g (t) = \ln (t)$ のとき、 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ は $f' (g (t)) g' (t)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\ln (t)$ とします。

$t^{2} (\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d t} [\ln (t)]) + \ln^{4} (t) \frac{d}{d t} [t^{2}]$

ステップ 2.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$t^{2} (4 u^{3} \frac{d}{d t} [\ln (t)]) + \ln^{4} (t) \frac{d}{d t} [t^{2}]$

ステップ 2.3

$u$ のすべての発生を $\ln (t)$ で置き換えます。

$t^{2} (4 \ln^{3} (t) \frac{d}{d t} [\ln (t)]) + \ln^{4} (t) \frac{d}{d t} [t^{2}]$

ステップ 3

$t$ に関する $\ln (t)$ の微分係数は $\frac{1}{t}$ です。

$t^{2} (4 \ln^{3} (t) \frac{1}{t}) + \ln^{4} (t) \frac{d}{d t} [t^{2}]$

ステップ 4

べき乗則を使って微分します。

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ステップ 4.1

$\frac{1}{t}$ と $4$ をまとめます。

$t^{2} (\frac{4}{t} \ln^{3} (t)) + \ln^{4} (t) \frac{d}{d t} [t^{2}]$

ステップ 4.2

項を簡約します。

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ステップ 4.2.1

$\frac{4}{t}$ と $\ln^{3} (t)$ をまとめます。

$t^{2} \frac{4 \ln^{3} (t)}{t} + \ln^{4} (t) \frac{d}{d t} [t^{2}]$

ステップ 4.2.2

$t^{2}$ と $\frac{4 \ln^{3} (t)}{t}$ をまとめます。

$\frac{t^{2} (4 \ln^{3} (t))}{t} + \ln^{4} (t) \frac{d}{d t} [t^{2}]$

ステップ 4.2.3

$t^{2}$ と $t$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.2.3.1

$t$ を $t^{2} (4 \ln^{3} (t))$ で因数分解します。

$\frac{t (t (4 \ln^{3} (t)))}{t} + \ln^{4} (t) \frac{d}{d t} [t^{2}]$

ステップ 4.2.3.2

共通因数を約分します。

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ステップ 4.2.3.2.1

$t$ を $1$ 乗します。

$\frac{t (t (4 \ln^{3} (t)))}{t^{1}} + \ln^{4} (t) \frac{d}{d t} [t^{2}]$

ステップ 4.2.3.2.2

$t$ を $t^{1}$ で因数分解します。

$\frac{t (t (4 \ln^{3} (t)))}{t \cdot 1} + \ln^{4} (t) \frac{d}{d t} [t^{2}]$

ステップ 4.2.3.2.3

共通因数を約分します。

$\frac{t (t (4 \ln^{3} (t)))}{t \cdot 1} + \ln^{4} (t) \frac{d}{d t} [t^{2}]$

ステップ 4.2.3.2.4

式を書き換えます。

$\frac{t (4 \ln^{3} (t))}{1} + \ln^{4} (t) \frac{d}{d t} [t^{2}]$

ステップ 4.2.3.2.5

$t (4 \ln^{3} (t))$ を $1$ で割ります。

$t (4 \ln^{3} (t)) + \ln^{4} (t) \frac{d}{d t} [t^{2}]$

ステップ 4.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$t (4 \ln^{3} (t)) + \ln^{4} (t) (2 t)$

ステップ 4.4

項を並べ替えます。

$4 t \ln^{3} (t) + 2 t \ln^{4} (t)$

微分積分 例

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