微分積分例

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} {(\sec (x) + \tan (x))}^{2} d x$

ステップ 1

簡約します。

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ステップ 1.1

${(\sec (x) + \tan (x))}^{2}$ を $(\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) + \tan (x))$ に書き換えます。

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} (\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) + \tan (x)) d x$

ステップ 1.2

分配法則（FOIL法）を使って $(\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) + \tan (x))$ を展開します。

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ステップ 1.2.1

分配則を当てはめます。

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \sec (x) (\sec (x) + \tan (x)) + \tan (x) (\sec (x) + \tan (x)) d x$

ステップ 1.2.2

分配則を当てはめます。

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \sec (x) \sec (x) + \sec (x) \tan (x) + \tan (x) (\sec (x) + \tan (x)) d x$

ステップ 1.2.3

分配則を当てはめます。

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \sec (x) \sec (x) + \sec (x) \tan (x) + \tan (x) \sec (x) + \tan (x) \tan (x) d x$

ステップ 1.3

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 1.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.3.1.1

$\sec (x) \sec (x)$ を掛けます。

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ステップ 1.3.1.1.1

$\sec (x)$ を $1$ 乗します。

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \sec^{1} (x) \sec (x) + \sec (x) \tan (x) + \tan (x) \sec (x) + \tan (x) \tan (x) d x$

ステップ 1.3.1.1.2

$\sec (x)$ を $1$ 乗します。

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \sec^{1} (x) \sec^{1} (x) + \sec (x) \tan (x) + \tan (x) \sec (x) + \tan (x) \tan (x) d x$

ステップ 1.3.1.1.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} {\sec (x)}^{1 + 1} + \sec (x) \tan (x) + \tan (x) \sec (x) + \tan (x) \tan (x) d x$

ステップ 1.3.1.1.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \sec^{2} (x) + \sec (x) \tan (x) + \tan (x) \sec (x) + \tan (x) \tan (x) d x$

ステップ 1.3.1.2

$\tan (x) \tan (x)$ を掛けます。

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ステップ 1.3.1.2.1

$\tan (x)$ を $1$ 乗します。

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \sec^{2} (x) + \sec (x) \tan (x) + \tan (x) \sec (x) + \tan^{1} (x) \tan (x) d x$

ステップ 1.3.1.2.2

$\tan (x)$ を $1$ 乗します。

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \sec^{2} (x) + \sec (x) \tan (x) + \tan (x) \sec (x) + \tan^{1} (x) \tan^{1} (x) d x$

ステップ 1.3.1.2.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \sec^{2} (x) + \sec (x) \tan (x) + \tan (x) \sec (x) + {\tan (x)}^{1 + 1} d x$

ステップ 1.3.1.2.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \sec^{2} (x) + \sec (x) \tan (x) + \tan (x) \sec (x) + \tan^{2} (x) d x$

ステップ 1.3.2

$\tan (x) \sec (x)$ の因数を並べ替えます。

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \sec^{2} (x) + \sec (x) \tan (x) + \sec (x) \tan (x) + \tan^{2} (x) d x$

ステップ 1.3.3

$\sec (x) \tan (x)$ と $\sec (x) \tan (x)$ をたし算します。

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \sec^{2} (x) + 2 \sec (x) \tan (x) + \tan^{2} (x) d x$

ステップ 2

単一積分を複数積分に分割します。

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \sec^{2} (x) d x + \int_{0}^{\frac{π}{6}} 2 \sec (x) \tan (x) d x + \int_{0}^{\frac{π}{6}} \tan^{2} (x) d x$

ステップ 3

$\tan (x)$ の微分係数が $\sec^{2} (x)$ なので、 $\sec^{2} (x)$ の積分は $\tan (x)$ です。

$\tan (x)]_{0}^{\frac{π}{6}} + \int_{0}^{\frac{π}{6}} 2 \sec (x) \tan (x) d x + \int_{0}^{\frac{π}{6}} \tan^{2} (x) d x$

ステップ 4

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$\tan (x)]_{0}^{\frac{π}{6}} + 2 \int_{0}^{\frac{π}{6}} \sec (x) \tan (x) d x + \int_{0}^{\frac{π}{6}} \tan^{2} (x) d x$

ステップ 5

$\sec (x)$ の微分係数が $\sec (x) \tan (x)$ なので、 $\sec (x) \tan (x)$ の積分は $\sec (x)$ です。

$\tan (x)]_{0}^{\frac{π}{6}} + 2 (\sec (x)]_{0}^{\frac{π}{6}}) + \int_{0}^{\frac{π}{6}} \tan^{2} (x) d x$

ステップ 6

ピタゴラスの恒等式を利用して、 $\tan^{2} (x)$ を $- 1 + \sec^{2} (x)$ に書き換えます。

$\tan (x)]_{0}^{\frac{π}{6}} + 2 (\sec (x)]_{0}^{\frac{π}{6}}) + \int_{0}^{\frac{π}{6}} - 1 + \sec^{2} (x) d x$

ステップ 7

単一積分を複数積分に分割します。

$\tan (x)]_{0}^{\frac{π}{6}} + 2 (\sec (x)]_{0}^{\frac{π}{6}}) + \int_{0}^{\frac{π}{6}} - 1 d x + \int_{0}^{\frac{π}{6}} \sec^{2} (x) d x$

ステップ 8

定数の法則を当てはめます。

$\tan (x)]_{0}^{\frac{π}{6}} + 2 (\sec (x)]_{0}^{\frac{π}{6}}) + - x]_{0}^{\frac{π}{6}} + \int_{0}^{\frac{π}{6}} \sec^{2} (x) d x$

ステップ 9

$\tan (x)$ の微分係数が $\sec^{2} (x)$ なので、 $\sec^{2} (x)$ の積分は $\tan (x)$ です。

$\tan (x)]_{0}^{\frac{π}{6}} + 2 (\sec (x)]_{0}^{\frac{π}{6}}) + - x]_{0}^{\frac{π}{6}} + \tan (x)]_{0}^{\frac{π}{6}}$

ステップ 10

答えを簡約します。

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ステップ 10.1

簡約します。

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ステップ 10.1.1

$- x]_{0}^{\frac{π}{6}}$ と $\tan (x)]_{0}^{\frac{π}{6}}$ をまとめます。

$\tan (x)]_{0}^{\frac{π}{6}} + 2 (\sec (x)]_{0}^{\frac{π}{6}}) + - x + \tan (x)]_{0}^{\frac{π}{6}}$

ステップ 10.1.2

$\tan (x)]_{0}^{\frac{π}{6}}$ と $- x + \tan (x)]_{0}^{\frac{π}{6}}$ をまとめます。

$2 (\sec (x)]_{0}^{\frac{π}{6}}) + \tan (x) - x + \tan (x)]_{0}^{\frac{π}{6}}$

ステップ 10.1.3

$\tan (x)$ と $\tan (x)$ をたし算します。

$2 (\sec (x)]_{0}^{\frac{π}{6}}) + - x + 2 \tan (x)]_{0}^{\frac{π}{6}}$

ステップ 10.2

代入し簡約します。

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ステップ 10.2.1

$\frac{π}{6}$ および $0$ で $\sec (x)$ の値を求めます。

$2 ((\sec (\frac{π}{6})) - \sec (0)) + - x + 2 \tan (x)]_{0}^{\frac{π}{6}}$

ステップ 10.2.2

$\frac{π}{6}$ および $0$ で $- x + 2 \tan (x)$ の値を求めます。

$2 ((\sec (\frac{π}{6})) - \sec (0)) + (- \frac{π}{6} + 2 \tan (\frac{π}{6})) - (- 0 + 2 \tan (0))$

ステップ 10.2.3

簡約します。

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ステップ 10.2.3.1

$- 1$ に $0$ をかけます。

$2 (\sec (\frac{π}{6}) - \sec (0)) - \frac{π}{6} + 2 \tan (\frac{π}{6}) - (0 + 2 \tan (0))$

ステップ 10.2.3.2

$0$ と $2 \tan (0)$ をたし算します。

$2 (\sec (\frac{π}{6}) - \sec (0)) - \frac{π}{6} + 2 \tan (\frac{π}{6}) - (2 \tan (0))$

ステップ 10.2.3.3

$2$ に $- 1$ をかけます。

$2 (\sec (\frac{π}{6}) - \sec (0)) - \frac{π}{6} + 2 \tan (\frac{π}{6}) - 2 \tan (0)$

ステップ 10.3

簡約します。

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ステップ 10.3.1

$\sec (\frac{π}{6})$ の厳密値は $\frac{2}{\sqrt{3}}$ です。

$2 (\frac{2}{\sqrt{3}} - \sec (0)) - \frac{π}{6} + 2 \tan (\frac{π}{6}) - 2 \tan (0)$

ステップ 10.3.2

$\sec (0)$ の厳密値は $1$ です。

$2 (\frac{2}{\sqrt{3}} - 1 \cdot 1) - \frac{π}{6} + 2 \tan (\frac{π}{6}) - 2 \tan (0)$

ステップ 10.3.3

$\tan (\frac{π}{6})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{3}}{3}$ です。

$2 (\frac{2}{\sqrt{3}} - 1 \cdot 1) - \frac{π}{6} + 2 \frac{\sqrt{3}}{3} - 2 \tan (0)$

ステップ 10.3.4

$\tan (0)$ の厳密値は $0$ です。

$2 (\frac{2}{\sqrt{3}} - 1 \cdot 1) - \frac{π}{6} + 2 \frac{\sqrt{3}}{3} - 2 \cdot 0$

ステップ 10.3.5

$- 1$ に $1$ をかけます。

$2 (\frac{2}{\sqrt{3}} - 1) - \frac{π}{6} + 2 \frac{\sqrt{3}}{3} - 2 \cdot 0$

ステップ 10.3.6

$2 (\frac{2}{\sqrt{3}} - 1)$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{6}{6}$ を掛けます。

$2 (\frac{2}{\sqrt{3}} - 1) \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6} + 2 \frac{\sqrt{3}}{3} - 2 \cdot 0$

ステップ 10.3.7

$2 (\frac{2}{\sqrt{3}} - 1)$ と $\frac{6}{6}$ をまとめます。

$\frac{2 (\frac{2}{\sqrt{3}} - 1) \cdot 6}{6} - \frac{π}{6} + 2 \frac{\sqrt{3}}{3} - 2 \cdot 0$

ステップ 10.3.8

公分母の分子をまとめます。

$\frac{2 (\frac{2}{\sqrt{3}} - 1) \cdot 6 - π}{6} + 2 \frac{\sqrt{3}}{3} - 2 \cdot 0$

ステップ 10.3.9

$6$ に $2$ をかけます。

$\frac{12 (\frac{2}{\sqrt{3}} - 1) - π}{6} + 2 \frac{\sqrt{3}}{3} - 2 \cdot 0$

ステップ 10.3.10

$2$ と $\frac{\sqrt{3}}{3}$ をまとめます。

$\frac{12 (\frac{2}{\sqrt{3}} - 1) - π}{6} + \frac{2 \sqrt{3}}{3} - 2 \cdot 0$

ステップ 10.3.11

$- 2$ に $0$ をかけます。

$\frac{12 (\frac{2}{\sqrt{3}} - 1) - π}{6} + \frac{2 \sqrt{3}}{3} + 0$

ステップ 10.3.12

$\frac{12 (\frac{2}{\sqrt{3}} - 1) - π}{6} + \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{12 (\frac{2}{\sqrt{3}} - 1) - π}{6} + \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

ステップ 11

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{12 (\frac{2}{\sqrt{3}} - 1) - π}{6} + \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

10進法形式：

$0.94050283 \dots$

微分積分 例

微分積分例