微分積分例

$y = \arctan (4 x^{2} - 3)$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d y} (y) = \frac{d}{d y} (\arctan (4 x^{2} - 3))$

ステップ 2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$f (y) = \arctan (y)$ および $g (y) = 4 x^{2} - 3$ のとき、 $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ は $f' (g (y)) g' (y)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $4 x^{2} - 3$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [\arctan (u_{1})] \frac{d}{d y} [4 x^{2} - 3]$

ステップ 3.1.2

$u_{1}$ に関する $\arctan (u_{1})$ の微分係数は $\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}}$ です。

$\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}} \frac{d}{d y} [4 x^{2} - 3]$

ステップ 3.1.3

$u_{1}$ のすべての発生を $4 x^{2} - 3$ で置き換えます。

$\frac{1}{1 + {(4 x^{2} - 3)}^{2}} \frac{d}{d y} [4 x^{2} - 3]$

ステップ 3.2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

総和則では、 $4 x^{2} - 3$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [4 x^{2}] + \frac{d}{d y} [- 3]$ です。

$\frac{1}{1 + {(4 x^{2} - 3)}^{2}} (\frac{d}{d y} [4 x^{2}] + \frac{d}{d y} [- 3])$

ステップ 3.2.2

$4$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $4 x^{2}$ の微分係数は $4 \frac{d}{d y} [x^{2}]$ です。

$\frac{1}{1 + {(4 x^{2} - 3)}^{2}} (4 \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [- 3])$

ステップ 3.3

$f (y) = y^{2}$ および $g (y) = x$ のとき、 $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ は $f' (g (y)) g' (y)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $x$ とします。

$\frac{1}{1 + {(4 x^{2} - 3)}^{2}} (4 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [- 3])$

ステップ 3.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ は $n {u_{2}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{1 + {(4 x^{2} - 3)}^{2}} (4 (2 u_{2} \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [- 3])$

ステップ 3.3.3

$u_{2}$ のすべての発生を $x$ で置き換えます。

$\frac{1}{1 + {(4 x^{2} - 3)}^{2}} (4 (2 x \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [- 3])$

ステップ 3.4

$2$ に $4$ をかけます。

$\frac{1}{1 + {(4 x^{2} - 3)}^{2}} (8 (x \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [- 3])$

ステップ 3.5

$\frac{d}{d y} [x]$ を $x'$ に書き換えます。

$\frac{1}{1 + {(4 x^{2} - 3)}^{2}} (8 x x' + \frac{d}{d y} [- 3])$

ステップ 3.6

$- 3$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $- 3$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{1}{1 + {(4 x^{2} - 3)}^{2}} (8 x x' + 0)$

ステップ 3.7

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.7.1

$8 x x'$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{1 + {(4 x^{2} - 3)}^{2}} (8 x x')$

ステップ 3.7.2

$8$ と $\frac{1}{1 + {(4 x^{2} - 3)}^{2}}$ をまとめます。

$\frac{8}{1 + {(4 x^{2} - 3)}^{2}} (x x')$

ステップ 3.7.3

$x$ と $\frac{8}{1 + {(4 x^{2} - 3)}^{2}}$ をまとめます。

$\frac{x \cdot 8}{1 + {(4 x^{2} - 3)}^{2}} x'$

ステップ 3.7.4

$\frac{x \cdot 8}{1 + {(4 x^{2} - 3)}^{2}}$ と $x'$ をまとめます。

$\frac{x \cdot 8 x'}{1 + {(4 x^{2} - 3)}^{2}}$

ステップ 3.7.5

$8$ を $x$ の左に移動させます。

$\frac{8 \cdot x x'}{1 + {(4 x^{2} - 3)}^{2}}$

ステップ 3.8

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.8.1

項を並べ替えます。

$\frac{8 x x'}{{(4 x^{2} - 3)}^{2} + 1}$

ステップ 3.8.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.8.2.1

${(4 x^{2} - 3)}^{2}$ を $(4 x^{2} - 3) (4 x^{2} - 3)$ に書き換えます。

$\frac{8 x x'}{(4 x^{2} - 3) (4 x^{2} - 3) + 1}$

ステップ 3.8.2.2

分配法則（FOIL法）を使って $(4 x^{2} - 3) (4 x^{2} - 3)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.8.2.2.1

分配則を当てはめます。

$\frac{8 x x'}{4 x^{2} (4 x^{2} - 3) - 3 (4 x^{2} - 3) + 1}$

ステップ 3.8.2.2.2

分配則を当てはめます。

$\frac{8 x x'}{4 x^{2} (4 x^{2}) + 4 x^{2} \cdot - 3 - 3 (4 x^{2} - 3) + 1}$

ステップ 3.8.2.2.3

分配則を当てはめます。

$\frac{8 x x'}{4 x^{2} (4 x^{2}) + 4 x^{2} \cdot - 3 - 3 (4 x^{2}) - 3 \cdot - 3 + 1}$

ステップ 3.8.2.3

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.8.2.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.8.2.3.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{8 x x'}{4 \cdot 4 x^{2} x^{2} + 4 x^{2} \cdot - 3 - 3 (4 x^{2}) - 3 \cdot - 3 + 1}$

ステップ 3.8.2.3.1.2

指数を足して $x^{2}$ に $x^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.8.2.3.1.2.1

$x^{2}$ を移動させます。

$\frac{8 x x'}{4 \cdot 4 (x^{2} x^{2}) + 4 x^{2} \cdot - 3 - 3 (4 x^{2}) - 3 \cdot - 3 + 1}$

ステップ 3.8.2.3.1.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{8 x x'}{4 \cdot 4 x^{2 + 2} + 4 x^{2} \cdot - 3 - 3 (4 x^{2}) - 3 \cdot - 3 + 1}$

ステップ 3.8.2.3.1.2.3

$2$ と $2$ をたし算します。

$\frac{8 x x'}{4 \cdot 4 x^{4} + 4 x^{2} \cdot - 3 - 3 (4 x^{2}) - 3 \cdot - 3 + 1}$

ステップ 3.8.2.3.1.3

$4$ に $4$ をかけます。

$\frac{8 x x'}{16 x^{4} + 4 x^{2} \cdot - 3 - 3 (4 x^{2}) - 3 \cdot - 3 + 1}$

ステップ 3.8.2.3.1.4

$- 3$ に $4$ をかけます。

$\frac{8 x x'}{16 x^{4} - 12 x^{2} - 3 (4 x^{2}) - 3 \cdot - 3 + 1}$

ステップ 3.8.2.3.1.5

$4$ に $- 3$ をかけます。

$\frac{8 x x'}{16 x^{4} - 12 x^{2} - 12 x^{2} - 3 \cdot - 3 + 1}$

ステップ 3.8.2.3.1.6

$- 3$ に $- 3$ をかけます。

$\frac{8 x x'}{16 x^{4} - 12 x^{2} - 12 x^{2} + 9 + 1}$

ステップ 3.8.2.3.2

$- 12 x^{2}$ から $12 x^{2}$ を引きます。

$\frac{8 x x'}{16 x^{4} - 24 x^{2} + 9 + 1}$

ステップ 3.8.2.4

$9$ と $1$ をたし算します。

$\frac{8 x x'}{16 x^{4} - 24 x^{2} + 10}$

ステップ 3.8.2.5

$2$ を $16 x^{4} - 24 x^{2} + 10$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.8.2.5.1

$2$ を $16 x^{4}$ で因数分解します。

$\frac{8 x x'}{2 (8 x^{4}) - 24 x^{2} + 10}$

ステップ 3.8.2.5.2

$2$ を $- 24 x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{8 x x'}{2 (8 x^{4}) + 2 (- 12 x^{2}) + 10}$

ステップ 3.8.2.5.3

$2$ を $10$ で因数分解します。

$\frac{8 x x'}{2 (8 x^{4}) + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (5)}$

ステップ 3.8.2.5.4

$2$ を $2 (8 x^{4}) + 2 (- 12 x^{2})$ で因数分解します。

$\frac{8 x x'}{2 (8 x^{4} - 12 x^{2}) + 2 (5)}$

ステップ 3.8.2.5.5

$2$ を $2 (8 x^{4} - 12 x^{2}) + 2 (5)$ で因数分解します。

$\frac{8 x x'}{2 (8 x^{4} - 12 x^{2} + 5)}$

ステップ 3.8.3

$8$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.8.3.1

$2$ を $8 x x'$ で因数分解します。

$\frac{2 (4 x x')}{2 (8 x^{4} - 12 x^{2} + 5)}$

ステップ 3.8.3.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.8.3.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 (4 x x')}{2 (8 x^{4} - 12 x^{2} + 5)}$

ステップ 3.8.3.2.2

式を書き換えます。

$\frac{4 x x'}{8 x^{4} - 12 x^{2} + 5}$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$1 = \frac{4 x x'}{8 x^{4} - 12 x^{2} + 5}$

ステップ 5

$x'$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

方程式を $\frac{4 x x'}{8 x^{4} - 12 x^{2} + 5} = 1$ として書き換えます。

$\frac{4 x x'}{8 x^{4} - 12 x^{2} + 5} = 1$

ステップ 5.2

両辺に $8 x^{4} - 12 x^{2} + 5$ を掛けます。

$\frac{4 x x'}{8 x^{4} - 12 x^{2} + 5} (8 x^{4} - 12 x^{2} + 5) = 1 (8 x^{4} - 12 x^{2} + 5)$

ステップ 5.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1.1

$8 x^{4} - 12 x^{2} + 5$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{4 x x'}{8 x^{4} - 12 x^{2} + 5} (8 x^{4} - 12 x^{2} + 5) = 1 (8 x^{4} - 12 x^{2} + 5)$

ステップ 5.3.1.1.2

式を書き換えます。

$4 x x' = 1 (8 x^{4} - 12 x^{2} + 5)$

ステップ 5.3.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.1

$8 x^{4} - 12 x^{2} + 5$ に $1$ をかけます。

$4 x x' = 8 x^{4} - 12 x^{2} + 5$

ステップ 5.4

$4 x x' = 8 x^{4} - 12 x^{2} + 5$ の各項を $4 x$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.1

$4 x x' = 8 x^{4} - 12 x^{2} + 5$ の各項を $4 x$ で割ります。

$\frac{4 x x'}{4 x} = \frac{8 x^{4}}{4 x} + \frac{- 12 x^{2}}{4 x} + \frac{5}{4 x}$

ステップ 5.4.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.2.1

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{4 x x'}{4 x} = \frac{8 x^{4}}{4 x} + \frac{- 12 x^{2}}{4 x} + \frac{5}{4 x}$

ステップ 5.4.2.1.2

式を書き換えます。

$\frac{x x'}{x} = \frac{8 x^{4}}{4 x} + \frac{- 12 x^{2}}{4 x} + \frac{5}{4 x}$

ステップ 5.4.2.2

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{x x'}{x} = \frac{8 x^{4}}{4 x} + \frac{- 12 x^{2}}{4 x} + \frac{5}{4 x}$

ステップ 5.4.2.2.2

$x'$ を $1$ で割ります。

$x' = \frac{8 x^{4}}{4 x} + \frac{- 12 x^{2}}{4 x} + \frac{5}{4 x}$

ステップ 5.4.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.3.1.1

$8$ と $4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.3.1.1.1

$4$ を $8 x^{4}$ で因数分解します。

$x' = \frac{4 (2 x^{4})}{4 x} + \frac{- 12 x^{2}}{4 x} + \frac{5}{4 x}$

ステップ 5.4.3.1.1.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.3.1.1.2.1

$4$ を $4 x$ で因数分解します。

$x' = \frac{4 (2 x^{4})}{4 (x)} + \frac{- 12 x^{2}}{4 x} + \frac{5}{4 x}$

ステップ 5.4.3.1.1.2.2

共通因数を約分します。

$x' = \frac{4 (2 x^{4})}{4 x} + \frac{- 12 x^{2}}{4 x} + \frac{5}{4 x}$

ステップ 5.4.3.1.1.2.3

式を書き換えます。

$x' = \frac{2 x^{4}}{x} + \frac{- 12 x^{2}}{4 x} + \frac{5}{4 x}$

ステップ 5.4.3.1.2

$x^{4}$ と $x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.3.1.2.1

$x$ を $2 x^{4}$ で因数分解します。

$x' = \frac{x (2 x^{3})}{x} + \frac{- 12 x^{2}}{4 x} + \frac{5}{4 x}$

ステップ 5.4.3.1.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.3.1.2.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$x' = \frac{x (2 x^{3})}{x^{1}} + \frac{- 12 x^{2}}{4 x} + \frac{5}{4 x}$

ステップ 5.4.3.1.2.2.2

$x$ を $x^{1}$ で因数分解します。

$x' = \frac{x (2 x^{3})}{x \cdot 1} + \frac{- 12 x^{2}}{4 x} + \frac{5}{4 x}$

ステップ 5.4.3.1.2.2.3

共通因数を約分します。

$x' = \frac{x (2 x^{3})}{x \cdot 1} + \frac{- 12 x^{2}}{4 x} + \frac{5}{4 x}$

ステップ 5.4.3.1.2.2.4

式を書き換えます。

$x' = \frac{2 x^{3}}{1} + \frac{- 12 x^{2}}{4 x} + \frac{5}{4 x}$

ステップ 5.4.3.1.2.2.5

$2 x^{3}$ を $1$ で割ります。

$x' = 2 x^{3} + \frac{- 12 x^{2}}{4 x} + \frac{5}{4 x}$

ステップ 5.4.3.1.3

$- 12$ と $4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.3.1.3.1

$4$ を $- 12 x^{2}$ で因数分解します。

$x' = 2 x^{3} + \frac{4 (- 3 x^{2})}{4 x} + \frac{5}{4 x}$

ステップ 5.4.3.1.3.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.3.1.3.2.1

$4$ を $4 x$ で因数分解します。

$x' = 2 x^{3} + \frac{4 (- 3 x^{2})}{4 (x)} + \frac{5}{4 x}$

ステップ 5.4.3.1.3.2.2

共通因数を約分します。

$x' = 2 x^{3} + \frac{4 (- 3 x^{2})}{4 x} + \frac{5}{4 x}$

ステップ 5.4.3.1.3.2.3

式を書き換えます。

$x' = 2 x^{3} + \frac{- 3 x^{2}}{x} + \frac{5}{4 x}$

ステップ 5.4.3.1.4

$x^{2}$ と $x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.3.1.4.1

$x$ を $- 3 x^{2}$ で因数分解します。

$x' = 2 x^{3} + \frac{x (- 3 x)}{x} + \frac{5}{4 x}$

ステップ 5.4.3.1.4.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.3.1.4.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$x' = 2 x^{3} + \frac{x (- 3 x)}{x^{1}} + \frac{5}{4 x}$

ステップ 5.4.3.1.4.2.2

$x$ を $x^{1}$ で因数分解します。

$x' = 2 x^{3} + \frac{x (- 3 x)}{x \cdot 1} + \frac{5}{4 x}$

ステップ 5.4.3.1.4.2.3

共通因数を約分します。

$x' = 2 x^{3} + \frac{x (- 3 x)}{x \cdot 1} + \frac{5}{4 x}$

ステップ 5.4.3.1.4.2.4

式を書き換えます。

$x' = 2 x^{3} + \frac{- 3 x}{1} + \frac{5}{4 x}$

ステップ 5.4.3.1.4.2.5

$- 3 x$ を $1$ で割ります。

$x' = 2 x^{3} - 3 x + \frac{5}{4 x}$

ステップ 6

$x'$ を $\frac{d x}{d y}$ で置き換えます。

$\frac{d x}{d y} = 2 x^{3} - 3 x + \frac{5}{4 x}$

微分積分 例

微分積分例