微分積分例

$\int (\frac{- 4 x - 4 x^{5}}{x^{2}} + 5 e^{7 x}) d x$

ステップ 1

括弧を削除します。

$\int \frac{- 4 x - 4 x^{5}}{x^{2}} + 5 e^{7 x} d x$

ステップ 2

単一積分を複数積分に分割します。

$\int \frac{- 4 x - 4 x^{5}}{x^{2}} d x + \int 5 e^{7 x} d x$

ステップ 3

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 3.1

$x^{2}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$\int (- 4 x - 4 x^{5}) {(x^{2})}^{- 1} d x + \int 5 e^{7 x} d x$

ステップ 3.2

${(x^{2})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 3.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\int (- 4 x - 4 x^{5}) x^{2 \cdot - 1} d x + \int 5 e^{7 x} d x$

ステップ 3.2.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\int (- 4 x - 4 x^{5}) x^{- 2} d x + \int 5 e^{7 x} d x$

ステップ 4

$(- 4 x - 4 x^{5}) x^{- 2}$ を展開します。

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ステップ 4.1

分配則を当てはめます。

$\int - 4 x \cdot x^{- 2} - 4 x^{5} x^{- 2} d x + \int 5 e^{7 x} d x$

ステップ 4.2

$x$ を $1$ 乗します。

$\int - 4 (x^{1} x^{- 2}) - 4 x^{5} x^{- 2} d x + \int 5 e^{7 x} d x$

ステップ 4.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int - 4 x^{1 - 2} - 4 x^{5} x^{- 2} d x + \int 5 e^{7 x} d x$

ステップ 4.4

$1$ から $2$ を引きます。

$\int - 4 x^{- 1} - 4 x^{5} x^{- 2} d x + \int 5 e^{7 x} d x$

ステップ 4.5

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int - 4 x^{- 1} - 4 x^{5 - 2} d x + \int 5 e^{7 x} d x$

ステップ 4.6

$5$ から $2$ を引きます。

$\int - 4 x^{- 1} - 4 x^{3} d x + \int 5 e^{7 x} d x$

ステップ 4.7

$- 4 x^{- 1}$ と $- 4 x^{3}$ を並べ替えます。

$\int - 4 x^{3} - 4 x^{- 1} d x + \int 5 e^{7 x} d x$

ステップ 5

単一積分を複数積分に分割します。

$\int - 4 x^{3} d x + \int - 4 x^{- 1} d x + \int 5 e^{7 x} d x$

ステップ 6

$- 4$ は $x$ に対して定数なので、 $- 4$ を積分の外に移動させます。

$- 4 \int x^{3} d x + \int - 4 x^{- 1} d x + \int 5 e^{7 x} d x$

ステップ 7

べき乗則では、 $x^{3}$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{4} x^{4}$ です。

$- 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \int - 4 x^{- 1} d x + \int 5 e^{7 x} d x$

ステップ 8

$- 4$ は $x$ に対して定数なので、 $- 4$ を積分の外に移動させます。

$- 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C) - 4 \int x^{- 1} d x + \int 5 e^{7 x} d x$

ステップ 9

$x^{- 1}$ の $x$ に関する積分は $\ln (| x |)$ です。

$- 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C) - 4 (\ln (| x |) + C) + \int 5 e^{7 x} d x$

ステップ 10

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $5$ を積分の外に移動させます。

$- 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C) - 4 (\ln (| x |) + C) + 5 \int e^{7 x} d x$

ステップ 11

$u = 7 x$ とします。次に $d u = 7 d x$ すると、 $\frac{1}{7} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 11.1

$u = 7 x$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 11.1.1

$7 x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [7 x]$

ステップ 11.1.2

$7$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $7 x$ の微分係数は $7 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$7 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 11.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$7 \cdot 1$

ステップ 11.1.4

$7$ に $1$ をかけます。

$7$

ステップ 11.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$- 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C) - 4 (\ln (| x |) + C) + 5 \int e^{u} \frac{1}{7} d u$

ステップ 12

簡約します。

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ステップ 12.1

$\frac{1}{4}$ と $x^{4}$ をまとめます。

$- 4 (\frac{x^{4}}{4} + C) - 4 (\ln (| x |) + C) + 5 \int e^{u} \frac{1}{7} d u$

ステップ 12.2

$e^{u}$ と $\frac{1}{7}$ をまとめます。

$- 4 (\frac{x^{4}}{4} + C) - 4 (\ln (| x |) + C) + 5 \int \frac{e^{u}}{7} d u$

ステップ 13

$\frac{1}{7}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{7}$ を積分の外に移動させます。

$- 4 (\frac{x^{4}}{4} + C) - 4 (\ln (| x |) + C) + 5 (\frac{1}{7} \int e^{u} d u)$

ステップ 14

$\frac{1}{7}$ と $5$ をまとめます。

$- 4 (\frac{x^{4}}{4} + C) - 4 (\ln (| x |) + C) + \frac{5}{7} \int e^{u} d u$

ステップ 15

$e^{u}$ の $u$ に関する積分は $e^{u}$ です。

$- 4 (\frac{x^{4}}{4} + C) - 4 (\ln (| x |) + C) + \frac{5}{7} (e^{u} + C)$

ステップ 16

簡約します。

$- x^{4} - 4 \ln (| x |) + \frac{5}{7} e^{u} + C$

ステップ 17

$u$ のすべての発生を $7 x$ で置き換えます。

$- x^{4} - 4 \ln (| x |) + \frac{5}{7} e^{7 x} + C$

微分積分 例

微分積分例